größte ganze Zahl [x] < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Fr 02.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
| Aufgabe | Ist x eine reelle Zahl, so bezeichnen wir die größte ganze Zahl [mm] \le [/mm] x mit |x| (Gaußklammer von x).
(a) Skizzieren Sie die Funktion x [mm] \to [/mm] |x|, [mm] x\in\IR.
[/mm]
(b) Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] definiert durch [mm] f(x):=[x]+\wurzel{x-[x]}. [/mm] Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist. |
Sowohl zu a) als auch zu b) fehlt mir ein Ansatz. Wäre jemand so lieb und könnte mir ein wenig helfen? Lieben Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Ist x eine reelle Zahl, so bezeichnen wir die größte ganze
> Zahl [mm]\le[/mm] x mit [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$.
[/mm]
>
> (a) Skizzieren Sie die Funktion $x [mm] \to \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor,\ x\in\IR.$
[/mm]
Mal sie Dir doch einfach mal von -5 bis 5 hin. Du hast oben die Definition hingeschrieben, es kann Dir doch nicht unmöglich sein die größte ganze Zahl kleiner oder gleich z.B. 4,3 zu finden.
> (b) Sei [mm]f:\IR\to\IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x):=[x]+\wurzel{x-[x]}.[/mm] Zeigen Sie, dass f streng monoton
> wachsend ist.
Hier zeigst Du, daß auf jedem Intervall [mm] $z\in [/mm] (i,i+1),\ [mm] i\in\IZ$ [/mm] der Term unter der Wurzel ( [mm] $x-\lfloor x\rfloor$ [/mm] ) streng monoton wachsend ist und folgerst daraus, daß auch die Wurzel und damit die ganze Funktion streng monoton wachsend ist.
Jetzt mußt Du nur noch das ganze an den Grenzen der Intervalle betrachten. D.h. für [mm] $\{i\}\cup (i,i+1)\cup \{i+1\} [/mm] = [i,i+1]$ (eigentlich sollte halboffen reichen). Wenn es darauf auch streng monoton wachsend ist, dann auch auf ganz [mm] \IR [/mm] (wieso?).
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