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[mm] a^{2} [/mm] < [mm] b^{2} \Leftarrow [/mm] a<b [mm] \gdw [/mm] -a>-b [mm] \Rightarrow (-a)^{2}>(-b)^{2} \Rightarrow a^{2} [/mm] > [mm] b^{2} [/mm] a,b beliebig
kann mir jemand helfen,wo der fehler liegt ?
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Hallo pumpernickel,
ist das 'ne Fangfrage?
> [mm] a^2(-b)^2 \Rightarrow a^2>b^2; [/mm] a,b beliebig
Die beiden rot markierten Schlüsse sind keineswegs sicher und damit nicht richtig. Überzeuge Dich für [mm] a,b\in\IN,\IZ,\IQ,\IR [/mm] und schließlich für [mm] a,b\in\IC.
[/mm]
Nimm, je nach untersuchter Zahlenmenge, z.B. a=2, b=3 oder umgekehrt an, oder dann a=-3, b=2 etc.
Grüße
reverend
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hi reverend,ok jetzt stelle ich hier mal eine seltsame frage:
für mich ist die forderung (-e)*(-e)=(+e) (e ist hier neutral),eine eigenschaft,die unabhängig ist aus welchem zahlenbereich a kommt,ich verstehs irgendwie nicht.
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Hallo pumpernickel,
> hi reverend,ok jetzt stelle ich hier mal eine seltsame
> frage:
> für mich ist die forderung (-e)*(-e)=(+e) (e ist hier
> neutral),eine eigenschaft,die unabhängig ist aus welchem
> zahlenbereich a kommt,ich verstehs irgendwie nicht.
Das verstehe ich nicht richtig...
Meinst du mit e das neutrale Element bzgl. der Multiplikation in einem (Zahlen-)körper?
Also in [mm] $\IR$ [/mm] die 1?
Ansonsten ist [mm] $(-e)(-e)=+e^{\red{2}}$ [/mm] (was für das neutrale Element bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] dasselbe wie e ist)
Aber das hat reverend auch gar nicht moniert.
Es geht (u.a.) direkt um den ersten Schluss:
Es soll (angeblich) aus $a<b$ folgen, dass [mm] $a^2
Nehmen wir an, $a,b$ seien reell, $a=-2, b=1$
Dann ist ersichtlich $a<b$, aber [mm] $a^2=4\not< 1=b^2$
[/mm]
Ganz ähnlich im anderen von reverend markierten Schluss ...
LG
schachuzipus
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ok ,kann man denn [mm] (-e)(-e)=+e^{\red{2}} [/mm] mit axiomen zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:20 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> ok ,kann man denn [mm](-e)(-e)=+e^{\red{2}}[/mm] mit axiomen zeigen?
Diese Gleichung folgt allein durch die Definition der Multiplikation zweier Elemente. Für zwei Elemente $a,b$ aud einer Menge $M$ ist die Multiplikation durch
[mm] $a\cdot [/mm] b:=ab$
definiert.
1. Lässt Du $a$ fest und wählst Du $b:=a$ und verwendest Du die "abkürzende" Notation [mm] $aa=a^2$, [/mm] so erhälst Du (aus der Definition der Multiplikation)
[mm] $a\cdot a=a^2$
[/mm]
2. Wählst Du nun $a:=e$ und $b:=e$, wobei $e$ das neutrale Element der Multiplikation bezeichnet und verwendest Du die "abkürzende" Notation [mm] $ee=e^2$, [/mm] so erhälst Du
[mm] $e\cdot e=ee=e^2$
[/mm]
Da $e$ als neutrales Element der Multiplikation zu sich selbst invers ist, folgt [mm] $e^2=e$ [/mm] und damit insgesamt
[mm] $e\cdot e=ee=e^2=e$
[/mm]
Ich hoffe, das hilft Dir weiter.
Ich vermute, dass, insofern Du weitere Fragen hierzu hast, es bei dieser Frage sinnvoll wäre, wenn Du uns verraten würdest worauf Du hinaus möchtest. Also wie Die Aufgabenstellung genau lautet.
Gruß Denny
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> für mich ist die forderung (-e)*(-e)=(+e) (e ist hier
> neutral),eine eigenschaft,die unabhängig ist aus welchem
> zahlenbereich a kommt,ich verstehs irgendwie nicht.
Hallo,
möglicherweise verstehe ich, was Dich gerade umtreibt, daher noch dies:
1. Ja, [mm] (-e)*(-e)=(\red{+}e) [/mm] gilt in jedem Körper bzw. Ring mit Eins.
Den Beweis habt Ihr ziemlich sicher bereits geführt.
Du kannst es so machen: Berechne (-e)*(-e) + (-e) und ziehe Deine Schlüsse aus dem Ergebnis.
2. Ja, es ist (-a)*(-a)= [mm] +a^2 [/mm] und (-b)*(-b)= [mm] +b^2. [/mm] Das bezweifelt hier niemand.
Und es gilt: $ (-a)=(-b) [mm] \rightarrow a^2=b^2.$
[/mm]
Du allerdings hast es nicht mit Gleichungen zu tun, und der Schluß
(-a)<(-b) [mm] \rightarrow a^2 [/mm] < [mm] b^2 [/mm] ist nunmal verkehrt, wie Du Dir anhand v. a=5 und b=-1 leicht verdeutlichen kannst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:21 Mi 20.05.2009 | | Autor: | kaleu74 |
Hallo,
Es genügt nicht nur Beispiele zu zeigen. Um die Gültigkeit der Ungleichung zu überprüfen kann man folgendermaßen umformen:
es gilt: [mm] $a^{2}>0$ [/mm] und [mm] $b^{2}>0$
[/mm]
[mm] $a^{2}0\gdw [/mm] (b-a)(b+a)>0$
daraus ergeben sich 2 Fälle:
1) $b-a>0$ und $b+a>0$
[mm] $b-a>0\gdw [/mm] b>a$ und [mm] $b+a>0\gdw [/mm] b>-a$
2) $b-a<0$ und $b+a<0$
[mm] $b-a<0\gdw [/mm] b<a$ und [mm] $b+a<0\gdw [/mm] b<-a$
Aus 1) ergibt sich: Die Ungleichung ist erfüllt wenn $b>a$ für [mm] $a\ge [/mm] 0$ und $b>-a$ für $a<0$
Aus 2): Die Ungleichung ist erfüllt wenn $b<-a$ für [mm] $a\ge [/mm] 0$ und $b<a$ für $a<0$
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> Hallo,
>
> Es genügt nicht nur Beispiele zu zeigen.
Hallo,
doch, für das, was hier geplant wurde, genügt das vollends..
Es ging in der Frage ja nicht darum, daß man herausfindet, unter welchen Umständen [mm] a^2
[mm] a\le [/mm] b [mm] \rightarrow [/mm] $ [mm] a^{2} [/mm] $ < $ [mm] b^{2} [/mm]
verkehrt ist, und dies tut man überzeugend durch ein Gegenbeispiel. Also so, wie es pumpernickel vom reverend vorgeschlagen wurde.
> Um die Gültigkeit
> der Ungleichung zu überprüfen kann man folgendermaßen
> umformen:
Wenn man Spaß daran hat, kann (!) man das tun.
Man sieht am Ende: die Ungleichung gilt nicht immer, und inspiriert durch die Ergebnisse der Bemühungen findet man dann auch ein Gegenbeispiel.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:38 Fr 22.05.2009 | | Autor: | kaleu74 |
Bezüglich der von Angela gemachten Aussagen, daß es lediglich reicht [mm] $a
pumpernickel stellte folgende Behauptung auf:
$ [mm] a^{2}< b^{2} \Leftarrow a-b\Rightarrow (-a)^{2}>(-b)^{2} \Rightarrow a^{2} [/mm] > [mm] b^{2}$ [/mm] a,b beliebig
Greift man sich also die [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Richtung auf folgt doch:
$a<b [mm] \gdw [/mm] -a>-b [mm] \Rightarrow (-a)^{2}>(-b)^{2} \Rightarrow a^{2} [/mm] > [mm] b^{2} [/mm] $ also aus [mm] $a
Betrachtet man hingegen die [mm] $\Leftarrow$ [/mm] Aussage soll gelten: [mm] $a
Dies ist doch offensichtlich doch nicht möglich, da dann gleichzeitig [mm] $a^{2} [/mm] > [mm] b^{2}$ [/mm] und [mm] $a^{2}< b^{2}$ [/mm] gelten müßte, also sollte man schon genau zeigen welche Relationen zwischen $a$ und $b$ bestehen oder die Aufgabe besser formulieren.
vg
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 17:09 Fr 22.05.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo kaleu74,
worauf willst Du eigentlich hinaus?
> Bezüglich der von Angela gemachten Aussagen, daß es
> lediglich reicht [mm]a
> Gegenbeispiel zu versehen, um die Nichtgültigkeit der
> Aussage zu zeigen ist richtig aber das steht da nicht.
Wo steht das nicht? Bei Angela steht es, und Du zitierst ja jetzt als Beleg auch die ursprüngliche Anfrage von pumpernickel.
> pumpernickel stellte folgende Behauptung auf:
>
> [mm]a^{2}< b^{2} \Leftarrow a-b\Rightarrow (-a)^{2}>(-b)^{2} \Rightarrow a^{2} > b^{2}[/mm]
> a,b beliebig
>
> Greift man sich also die [mm]\Rightarrow[/mm] Richtung auf folgt
> doch:
>
> [mm]a-b \Rightarrow (-a)^{2}>(-b)^{2} \Rightarrow a^{2} > b^{2}[/mm]
> also aus [mm]a b^{2}[/mm]
Wenn die Schlusskette stimmen würde, dann würde das folgen. Es folgt aber nicht, da Quadrieren (wie auch Wurzelziehen) keine Äquivalenzumformung darstellt, sondern immer eine Fallunterscheidung mit sich bringt.
> Betrachtet man hingegen die [mm]\Leftarrow[/mm] Aussage soll gelten:
> [mm]a
Ja, soll gelten, gilt aber wieder nicht, siehe oben.
> Dies ist doch offensichtlich doch nicht möglich, da dann
> gleichzeitig [mm]a^{2} > b^{2}[/mm] und [mm]a^{2}< b^{2}[/mm] gelten müßte,
Genau das ist pumpernickel doch offenbar aufgefallen, daher die Frage.
> also sollte man schon genau zeigen welche Relationen
> zwischen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] bestehen oder die Aufgabe besser
> formulieren.
Eben, ohne die nötige Fallunterscheidung sind die angegebenen Schlüsse nicht zu ziehen. Entweder man besitzt bereits eine Information über das Verhältnis von a und b sowie von |a| und |b|, dann trägt die Schlusskette nichts Neues aus, oder man besitzt diese Information(en) nicht, dann brechen Teile der Kette in sich zusammen.
Ich verstehe daher nicht, worauf Du gerade herumreiten willst.
> vg
Herzliche Grüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo pumpernickel,
>
> ist das 'ne Fangfrage?
>
> > [mm]a^2(-b)^2 \Rightarrow a^2>b^2;[/mm]
> a,b beliebig
>
> Die beiden rot markierten Schlüsse sind keineswegs sicher
das stimmt, es gilt aber sogar mehr:
Es ist nicht nur so, dass man i.a. aus $a < [mm] b\,$ [/mm] nicht [mm] $a^2 [/mm] < [mm] b^2$ [/mm] folgern kann ($-4 < [mm] 2\,,$ [/mm] aber [mm] $(-4)^2=16 [/mm] > [mm] 4=2^2$), [/mm] sondern es ist zudem auch so, dass man aus [mm] $a^2 [/mm] < [mm] b^2$ [/mm] nicht $a < b$ folgern kann:
[mm] $$\text{Bsp.:}\;\;{\underbrace{2}_{=:a}}^2 [/mm] < [mm] (\underbrace{-4}_{=:b})^2\,, \text{ aber } [/mm] -4 < [mm] 2\,.$$
[/mm]
Also bei [mm] $a^2 [/mm] < [mm] b^2 \red{\gdw} [/mm] a < b$ ist das [mm] $\gdw$ [/mm] komplett falsch (sofern $a,b [mm] \in \IR$); [/mm] es wäre aber richtig, wenn man z.B. $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ fordern würde.
Übrigens:
[mm] $$a^2 [/mm] < [mm] b^2 \gdw \sqrt{a^2} [/mm] < [mm] \sqrt{b^2} \gdw [/mm] |a| < |b|$$
wäre gültig.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Fr 22.05.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
genau. Keine Frage. Ganz meine Meinung. Ich bin voll auf Deiner Seite. Das ist geradezu erzrichtig, sogar höchstrichtig, ach was: richtigst.
Nur,
> das stimmt, es gilt aber sogar mehr:
> Es ist nicht nur so, dass man i.a. aus [mm]a < b\,[/mm] nicht [mm]a^2 < b^2[/mm]
> folgern kann ([mm]-4 < 2\,,[/mm] aber [mm](-4)^2=16 > 4=2^2[/mm]), sondern es
> ist zudem auch so, dass man aus [mm]a^2 < b^2[/mm] nicht [mm]a < b[/mm]
> folgern kann:
> [mm]\text{Bsp.:}\;\;{\underbrace{2}_{=:a}}^2 < (\underbrace{-4}_{=:b})^2\,, \text{ aber } -4 < 2\,.[/mm]
Eben, eben. Das habe ich mir nur verkniffen, weil es nicht gefragt war.
> Also bei [mm]a^2 < b^2 \red{\gdw} a < b[/mm] ...
... was der Fragesteller nicht behauptet hatte, ...
> ... ist das [mm]\gdw[/mm] komplett
> falsch (sofern [mm]a,b \in \IR[/mm]); es wäre aber richtig, wenn man
> z.B. [mm]a,b \ge 0[/mm] fordern würde.
Ja, dann schon. Und Du gibst die Definitionsmenge für a,b an, was unverzichtbar ist.
> Übrigens:
> [mm]a^2 < b^2 \gdw \sqrt{a^2} < \sqrt{b^2} \gdw |a| < |b|[/mm]
>
> wäre gültig.
Irgendwo schrieb ich doch (später) etwas über Äquivalenzumformungen, Fallunterscheidungen und Beträge. Du formulierst hier insofern nichts gänzlich Neues.
> Gruß,
> Marcel
Ganz widerspruchslos,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo pumpernickel,
>
> ist das 'ne Fangfrage?
>
> > [mm]a^2(-b)^2 \Rightarrow a^2>b^2;[/mm]
> a,b beliebig
>
> Die beiden rot markierten Schlüsse sind keineswegs sicher
> und damit nicht richtig. Überzeuge Dich für
> [mm]a,b\in\red{\IN},\IZ,\IQ,\IR[/mm] und schließlich für [mm]a,b\in\red{\IC}.[/mm]
mit [mm] $\IC$ [/mm] bin ich nicht einverstanden, da auf [mm] $\IC$ [/mm] keine Ordnungsrelation [mm] $<\,$ [/mm] existiert, so dass der Körper [mm] $(\IC,+,*,<)$ [/mm] ein angeordneter Körper wäre (vgl. ![[]](/images/popup.gif) Wiki)!
P.S.:
Wozu soll man überhaupt diese ganzen Mengen durchlaufen? Es reicht doch vollkommen, wenn man schon weiß, dass das bzgl. [mm] $(\IR,+,*,<)$ [/mm] (oder meinetwegen auch nur [mm] $(\IQ,+,*,<)$) [/mm] alles schiefgeht...
P.P.S.: Für [mm] $\IN$ [/mm] bin ich auch nicht einverstanden:
Denn für $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] gilt sehr wohl [mm] $a^2 [/mm] < [mm] b^2 \gdw [/mm] a < [mm] b\,$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Fr 22.05.2009 | | Autor: | reverend |
Nochmal hallo,
auch hier: jawoll. Unbedingt.
> > Die beiden rot markierten Schlüsse sind keineswegs sicher
> > und damit nicht richtig. Überzeuge Dich für
> > [mm]a,b\in\red{\IN},\IZ,\IQ,\IR[/mm] und schließlich für
> [mm]a,b\in\red{\IC}.[/mm]
>
> mit [mm]\IC[/mm] bin ich nicht einverstanden, da auf [mm]\IC[/mm] keine
> Ordnungsrelation [mm]<\,[/mm] existiert, so dass der Körper
> [mm](\IC,+,*,<)[/mm] ein angeordneter Körper wäre (vgl.
> Wiki)!
Das habe ich auch nicht behauptet. Mein Beitrag war als Denksanstoß und damit Hilfestellung gemeint. Die angefragte Aussagenkette ist in [mm] \IC [/mm] nicht definiert. Man müsste also angeben, in welcher Weise eine Ordnungsrelation definiert wäre, bevor man die Aussage überhaupt treffen kann. Eine Definitionsmenge war aber nicht gegeben, noch die Definition der Ordnungsrelation.
> P.S.:
> Wozu soll man überhaupt diese ganzen Mengen durchlaufen?
> Es reicht doch vollkommen, wenn man schon weiß, dass das
> bzgl. [mm](\IR,+,*,<)[/mm] (oder meinetwegen auch nur [mm](\IQ,+,*,<)[/mm])
> alles schiefgeht...
Dazu muss man den Zusammenhang der genannten Zahlen(mengen) aber durchschauen. Mehr wollte ich mit dem Hinweis nicht anregen.
> P.P.S.: Für [mm]\IN[/mm] bin ich auch nicht einverstanden:
> Denn für [mm]a,b \in \IN[/mm] gilt sehr wohl [mm]a^2 < b^2 \gdw a < b\,[/mm]!
Wohl wahr. Ich verharre beifällig nickend.
Doch ist auch hier die gesamte Kette nicht sinnvoll, da eine Aussage über -a und -b den angenommenen Zahlenraum verlässt. Auch wenn die Subtraktion definiert ist, so ist es -a als Abkürzung für 0-a noch längst nicht. Ohne Überführung der Aussage in [mm] \IZ [/mm] ist sie daher in [mm] \IN [/mm] hinfällig.
Auch dies habe ich bewusst nicht geschrieben. Wir sind ja keine Lösungsmaschine, sondern ein Denkanstoßgeberverband, oder?
> Gruß,
> Marcel
Ganz herzlich,
reverend
PS: Ist es eigentlich purer Perfektionismus, der Dich dazu treibt, so gut wie jeden Deiner Beiträge mehr- bis vielfach zu überarbeiten? Die Zielqualität spräche ja dafür. Bitte betrachte dies nicht als Kritik, sondern als echte Frage mit impliziertem Lob. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 So 24.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> PS: Ist es eigentlich purer Perfektionismus, der Dich dazu
> treibt, so gut wie jeden Deiner Beiträge mehr- bis vielfach
> zu überarbeiten? Die Zielqualität spräche ja dafür. Bitte
> betrachte dies nicht als Kritik, sondern als echte Frage
> mit impliziertem Lob.
ja, so könnte man es sagen... eigentlich ist's eher so, dass ich Fehler, die ich sehe, nicht stehen lassen kann. Ich bin da schon ein bisschen extrem, und dummerweise fallen mir halt Fehler meist erst so nach und nach auf, weil ich quasi alles nochmal 'zur Kontrolle' lese, bis ich bei der Kontrolle keinen Fehler mehr finde (was nicht heißt, dass dann alle weg wären; aber die gröbsten sollten dann jedenfalls weg sein).
P.S.: Die obigen Bemerkungen meinerseits kamen halt, weil für mich der Eindruck entstand, dass man das von Dir geschriebene so missverstehen könnte. Du wirst sicherlich auch mal bemerkt haben, dass ich mich - was die Mathematik betrifft - sehr vorsichtig ausdrücke und oft schon während des Schreibens meist sehr deutlich darauf hinweise oder daran erinnere, wie manches zu verstehen ist. Dafür gibt's eigentlich zwei Gründe:
1.) Der Fragesteller hat weniger 'Hürden' beim Verständnis der Sachen, die er erklärt bekommt.
2.) Der Fragesteller verliert keine unnötige Zeit; in dem Sinne, dass er sich vll. an Dingen stört und Zeit in Dinge investiert, die eigentlich irrelevant waren und nur aus Missverständnissen resultiert haben.
Von daher: Verzeih' mir bitte, dass ich ein wenig penibel bin und oft auch etwas 'stark' ins Detail gehe; das ist aber in der Tat ein Charakterzug von mir. Ein Prof. von mir hatte mich da auch schonmal drauf hingewiesen, dass ich das manchmal etwas lockerer sehen sollte und es manchmal besser sei, einen groben Überblick zu haben, als alles bis ins kleinste Detail auseinanderzunehmen... bei mir hängt das aber etwas miteinander zusammen, wenn ich alles bis ins kleinste Detail auseinandergenommen habe, dann habe ich automatisch auch einen groben Überblick über die ganzen Dinge  Etwas komplex
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:09 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
die Frage nach dem Fehler ist soweit geklärt, wenn ich es richtig sehe?! Ein Gegenbeispiel wurde angegeben und der Beweis der Ungleichung für gewisse $a,b$ wurde nachgeliefert.
Damit dürfte dieser Teil erledigt sein.
Gruß
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