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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Gopal |
hi,
ich hänge schon wieder fest:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} [x*((1+ \bruch{1}{x})^{n}-1)][/mm]
ich vermute, dass ich hier mit der l'Hospitalschen Regel arbeiten sollte und bei der anderen Teilaufgabe hat das ja auch gut funktioniert. hier komme ich jetzt aber immer bei Null raus, der limes scheint aber, wenn ich große x und verschiedene n mal durchrechne, n zu sein.
jemand 'nen Tip
thx
gopal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gopal!
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} [x*((1+ \bruch{1}{x})^{n}-1)][/mm]
Die Anwendung von  de l'Hospital ist hier gar nicht nötig.
Aber zunächst müssen wir unsere Funktion etwas umformen ...
[mm] $x*\left[\left(1+ \bruch{1}{x}\right)^n-1\right]$
[/mm]
$= \ [mm] x*\left[\left(\bruch{x+1}{x}\right)^n-1\right]$
[/mm]
$= \ [mm] x*\left[\bruch{(x+1)^n}{x^n}-1\right]$
[/mm]
$= \ [mm] x*\bruch{(x+1)^n - x^n}{x^n}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{(x+1)^n - x^n}{x^{n-1}}$
[/mm]
Nun verwenden wir den Binomischen Satz:
$(a + [mm] b)^n [/mm] \ = \ [mm] a^n [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] * [mm] a^{n-1} [/mm] * [mm] b^1 [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] * [mm] a^{n-2} [/mm] * [mm] b^2 [/mm] + ... + [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] a^{n-k} [/mm] * [mm] b^k [/mm] + ... + [mm] b^n$
[/mm]
Für unsere Klammer im Zähler gilt:
$(x + [mm] 1)^n [/mm] \ = \ [mm] x^n [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] * [mm] x^{n-1} [/mm] * [mm] 1^1 [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] * [mm] x^{n-2} [/mm] * [mm] 1^2 [/mm] + ... + [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] x^{n-k} [/mm] * [mm] 1^k [/mm] + ... + [mm] 1^n [/mm] \ = \ [mm] x^n [/mm] + n * [mm] x^{n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] * [mm] x^{n-2} [/mm] + ... + 1$
Damit wird unser gesamter Zähler zu:
$(x + [mm] 1)^n [/mm] - [mm] x^n [/mm] \ = \ [mm] x^n [/mm] + n * [mm] x^{n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] * [mm] x^{n-2} [/mm] + ... + 1 - [mm] x^n [/mm] \ = \ n * [mm] x^{n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] * [mm] x^{n-2} [/mm] + ... + 1$
Für unsere Funktion bedeutet dies:
[mm] $x*\left[\left(1+ \bruch{1}{x}\right)^n-1\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x+1)^n - x^n}{x^{n-1}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{n * x^{n-1} + \vektor{n \\ 2} * x^{n-2} + ... + 1}{x^{n-1}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{n * x^{n-1}}{x^{n-1}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{n \\ 2} * x^{n-2}}{x^{n-1}} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{x^{n-1}}$
[/mm]
$= \ n + [mm] \bruch{\vektor{n \\ 2}}{x^1} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{n \\ 3}}{x^2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{x^{n-1}}$
[/mm]
Mit der Grenzwertbetrachtung für $x \ [mm] \to [/mm] \ [mm] \infty$ [/mm] erhältst Du nun Deine Lösung, die Du durch Probieren bereits erhalten hast ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:04 Do 07.04.2005 | | Autor: | lelli |
sry
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