grenzwertfrage < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Sa 05.11.2005 | | Autor: | ttgirltt |
Hallo!!! Also ich hab jetzt mal angenommen eine aufgabe Grenzwert bestimmen und auf Konvergenz überprüfen.Die Folge [mm] x_{n} [/mm] ich hab da bereits den Grenzwert 2 raus so und ws muss ich jetzt noch zeigen
[mm] |x_{n}-x|< \varepsilon [/mm]
was setz ich da denn ein wie mach ich das???
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen ttgirltt!
Wie lautet denn Deine Folge [mm] $x_n$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Sa 05.11.2005 | | Autor: | ttgirltt |
[mm] x_{n}=n((1+ \bruch{1}{n})^{2}-1)
[/mm]
ich weiß ja nur nicht was ich bei x und [mm] \varepsilon [/mm] einsetzen muss glaub ich zumindest
|
|
|
| |
|
[mm]x[/mm] ist dein (vermuteter) Grenzwert und [mm]\varepsilon[/mm] eine beliebige reelle Zahl [mm]>0[/mm]. Und du mußt jetzt zu jedem solchen [mm]\varepsilon[/mm] eine Nummer [mm]n_0[/mm] finden, so daß alle Folgeglieder [mm]a_{n_0}, a_{n_0 + 1}, a_{n_0 + 2}, \ldots[/mm] von [mm]x[/mm] einen Abstand kleiner [mm]\varepsilon[/mm] haben. Wenn dir die Vorstellung in dieser Abstraktheit noch schwer fällt, so beginne mit einem konkreten [mm]\varepsilon = 0{,01}[/mm] oder [mm]\varepsilon = 0{,}002[/mm] oder ... Für einen korrekten Beweis mußt du dann allerdings mit einem beliebigen [mm]\varepsilon > 0[/mm] rechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ttgirltt!
Zunächst einmal sollten wir unsere Foleg etwas umschreiben / umformen und zusammenfassen:
[mm] $x_n [/mm] \ = \ [mm] n*\left[\left(1+\bruch{1}{n}\right)^2-1\right] [/mm] \ = \ [mm] n*\left[\left(\bruch{n+1}{n}\right)^2-1\right] [/mm] \ = \ [mm] n*\left[\bruch{(n+1)^2}{n^2}-\bruch{n^2}{n^2}\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^2+2n+1 - n^2}{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2n+1}{n} [/mm] \ = \ 2 + [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Das sieht ja gleich viel angenehmer aus  ...
Und das setzen wir nun ein in die Grenzwert-"Formel":
[mm] $\left| \ x_n - a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \left(2+\bruch{1}{n}\right) - 2 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{1}{n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] \ [mm] \red{< \ \varepsilon}$ $\gdw [/mm] \ \ \ \ n \ = \ [mm] N(\varepsilon) [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$
[/mm]
Es gibt also zu jedem beliebigen [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N(\varepsilon)$, [/mm] ab welchem Glied die Folge beliebig nah an dem untersuchten Grenzwert liegt. Damit ist der Grenzwert bzw. die Konvergenz nachgewiesen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Sa 05.11.2005 | | Autor: | ttgirltt |
Also ermittle ich erst [mm] \varepsilon [/mm] und schreib dann immer n=N( [mm] \varepsilon) [/mm] und setz dann für n immer [mm] \varepsilon [/mm] ein????
|
|
|
| |
|
Nein.
Nicht [mm]\varepsilon[/mm] ist zu ermitteln, sondern [mm]n_0[/mm]. Du mußt zu einem beliebig vorgegebenen [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0[/mm] bestimmen, so daß ab der Nummer [mm]n_0[/mm] alle Folgeglieder von 2 einen Abstand kleiner [mm] \varepsilon [/mm] haben. Nimm doch, wie ich bereits vorgeschlagen habe, ein Beispiel-[mm]\varepsilon[/mm], etwa [mm]\varepsilon = 0{,}01[/mm]. Ab welchem Folgeglied ist der Abstand zu 2 kleiner als ein Hundertstel?
|
|
|
| |
|
Dein Problem ist, daß du momentan im Unterholz herumirrst, ohne zu sehen, wo überhaupt das Ziel ist. Den im Sonnenschein glänzenden Berggipfel kannst du vor lauter Gestrüpp nicht sehen, stattdessen bleibst du an jeder Wurzel hängen.
Ich versuche einmal eine anschauliche Erklärung der Grenzwertdefinition. Nimm dir gelegentlich Zeit und versuche zu verstehen, worum es überhaupt geht. Wenn du dann die Definition begriffen hast, kannst du sie auch bei der konkreten Aufgabe anwenden. Sonst wirst du immer nur Rechnungen ausführen, bei denen das Ergebnis manchmal richtig (zufällig richtig) und manchmal falsch ist. Und du wirst es nicht einmal beurteilen können, warum.
Früher habe ich einmal anderswo Folgendes aufgeschrieben:
Ich teile eine Folge ein in einen Folgenkopf (das sind alle Glieder vor einer bestimmten Nummer) und einen Folgenschwanz (das sind alle Glieder ab dieser Nummer). Und diese Unterteilung kann man bei jedem Folgeglied vornehmen. Man erhält (ich beginne meine Folge mit dem Index 1)
bei der Nummer 1
als Folgenkopf: (gar nichts)
als Folgenschwanz: die ganze Folge [mm]a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, \ldots[/mm]
bei der Nummer 2
als Folgenkopf: [mm]a_1[/mm]
als Folgenschwanz: [mm]a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 ,a_7, \ldots[/mm]
bei der Nummer 3
als Folgenkopf: [mm]a_1, a_2[/mm]
als Folgenschwanz: [mm]a_3, a_4, a_5 ,a_6 ,a_7, \ldots[/mm]
Jeder Folgenkopf hat nur endlich viele Folgenglieder, jeder Folgenschwanz unendlich viele - aber das reicht nicht! Entscheidend ist: der Folgenschwanz enthält alle Glieder ab einem bestimmten.
Und jetzt trägst du dir eine Folge in ein Koordinatensystem ein: auf der Abszissenachse die Indizes [mm]1, 2, 3, \ldots[/mm] auf der Ordinatenachse die Werte [mm]a_1, a_2, a_3, \ldots[/mm] . Die Zahl [mm]x[/mm] sei nun der Grenzwert dieser Folge (nimm als Beispiel ruhig dein [mm]a_n = 2 + \frac{1}{n}[/mm], hier vermutet man [mm]x = 2[/mm]). Lege eine Parallele zur Abszissenachse durch [mm]x[/mm] hindurch. Und jetzt zeichne zu dieser Parallele zwei weitere Parallelen im Abstand [mm]\varepsilon[/mm] (z.B. [mm]\varepsilon = 1{,}5[/mm]), eine nach oben und eine nach unten. So entsteht ein horizontaler [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen um [mm]x[/mm] (der Breite [mm]2 \varepsilon[/mm]).
Und wenn nun [mm]x[/mm] tatsächlich der Grenzwert ist, liegt ein ganzer Folgenschwanz in diesem [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen drinnen. Aber mehr noch! Auch bei Verkleinerung der Streifenbreite ist das der Fall: Immer liegt ein ganzer Folgenschwanz im [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen, egal, wie klein [mm]\varepsilon[/mm] ist. Nimm dann eine andere Zahl [mm]y[/mm], die offensichtlich nicht der Grenzwert ist. Vielleicht gibt es dann auch noch gewisse [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen um [mm]y[/mm], die einen ganzen Folgenschwanz enthalten. Aber du wirst einen [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen finden können (einer genügt!), der vielleicht noch einzelne Glieder, aber keinen ganzen Folgenschwanz mehr enthält.
Und diese anschauliche Tatsache erhebt man jetzt zur Definition:
[mm]x[/mm] heißt Grenzwert einer gegebenen Folge, wenn jeder noch so kleine [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen um [mm]x[/mm] einen ganzen Folgenschwanz enthält.
Wann liegt nun eine Zahl [mm]t[/mm] im [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen um [mm]x[/mm]? Natürlich dann, wenn ihr Abstand zu [mm]x[/mm] kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] ist. Abstände mißt man aber durch den Betrag der Differenz: [mm]| t - x | < \varepsilon[/mm].
Wann liegt also ein gewisses Folgenglied [mm]a_n[/mm] im [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen? Klar, für [mm]| a_n - x | < \varepsilon[/mm].
Wann liegt nun aber ein ganzer Folgenschwanz, sagen wir mit der Startnummer [mm]n_0[/mm], im [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen: Klar, wenn [mm]| a_n - x | < \varepsilon[/mm] für alle [mm]n \geq n_0[/mm] gilt.
Die obige Definition verlangt nun, daß man zu jedem [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen einen Folgenschwanz, d.h. ein [mm]n_0[/mm], bestimmen kann.
Jetzt formalisieren wir alles und erhalten die folgende abstrakte Definition für den Grenzwert:
[mm]x[/mm] heißt Grenzwert der Folge [mm]a_1, a_2, a_3, \ldots[/mm], wenn zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] eine natürliche Zahl [mm]n_0[/mm] existiert, so daß [mm]| a_n - x | < \varepsilon[/mm] ist für alle [mm]n \geq n_0[/mm].
Voilá!
|
|
|
|
