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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Also:
1.Ich vernachlässige das von kugeln und halbkugel die rede ist und rechne mit kreisen und halbkreisen, da die maximale höhe die selbe bleibt.
2.Ich rechne das maximum für die höhe von zwei halbkreisen, die aufeinanderstehen in abhängigkeit vom radius des kleiner/oberen.
[mm] r_{0} [/mm] entspricht dem radius des größeren halbkreises
[mm] r_{1} [/mm] entspricht dem radius des kleineren halbkreises
H entspricht der höher des gebildes
[mm] h_{1} [/mm] entspricht der strecke von kreismittelpunkt(des ersten/großen kreises) zum mittelpunkt der kreissehne(des ersten/großen kreises, die auch der durchmesser des zweiten kreises ist)
b entspricht der höhe des kleineren kreises (welche gleich [mm] r_{2} [/mm] ist)
H = b + [mm] h_{1}
[/mm]
H = [mm] r_{1} [/mm] + [mm] \wurzel{ (r_{0})^{2} - (r_{1})^{2}}
[/mm]
dann eben maximum bestimmen.
das ergebnis ist:
[mm] r_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{ (r_{0})^{2} }{2}}
[/mm]
also allgemein:
[mm] r_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{ (r_{n})^{2} }{2}} [/mm] = [mm] \bruch{r_{n}}{\wurzel{2}}
[/mm]
die maximale höhe von 2 kugeln wobei die größere den radius [mm] r_{0} [/mm] hat ist:
H = [mm] r_{1} [/mm] + [mm] \wurzel{ (r_{0})^{2} - (r_{1})^{2}}
[/mm]
H = [mm] {\bruch{r_{0}}{\wurzel{2}}} [/mm] + [mm] \wurzel{ (r_{0})^{2} - (\bruch{r_{0}}{\wurzel{2}})^{2}} [/mm] = [mm] {\bruch{r_{0}}{\wurzel{2}}} [/mm] + [mm] {\bruch{r_{0}}{\wurzel{2}}} [/mm] = [mm] \wurzel{2} r_{0}
[/mm]
[mm] h_{n} [/mm] ist die strecke der n-ten kugel von kugelmitte zu mitte der kreissehne (die kreissehne ist gleich dem durchmesser der (n+1)ten kugel)
zu [mm] r_{n}:
[/mm]
annahme [mm] r_{n} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n} [/mm] * [mm] r_{0} [/mm]
[mm] r_{1} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{1} [/mm] * [mm] r_{0} [/mm]
[mm] r_{k} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{k} [/mm] * [mm] r_{0} [/mm]
[mm] r_{k+1} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{1} [/mm] * [mm] r_{k} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{1} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{k} [/mm] * [mm] r_{0} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{k+1} [/mm] * [mm] r_{0} [/mm]
zu [mm] h_{n}:
[/mm]
[mm] h_{n} [/mm] = $ [mm] \wurzel{ (r_{n})^{2} - (r_{n+1})^{2}} [/mm] $
[mm] h_{n} [/mm] = $ [mm] \wurzel{ (r_{n})^{2} - (\bruch{r_{n}}{\wurzel{2}})^{2}} [/mm] $ = [mm] \bruch{r_{n}}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] \bruch{ (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n} * r_{0}
}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n+1} [/mm] * [mm] r_{0}
[/mm]
die höhe von n halbkugeln ist demnach. (z.B. [mm] H_{4} [/mm] = [mm] H_{3+1} [/mm] also wäre n = 3. ich weiß nicht, ob das selbstverständlich ist)
[mm] H_{n+1} [/mm] = [mm] r_{n} [/mm] + [mm] h_{1} [/mm] + [mm] h_{2} [/mm] + ... + [mm] h_{n-1}
[/mm]
(wobei [mm] r_{n} [/mm] die höhe der kleinsten/obersten kugel ist.)
[mm] H_{n+1} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n} [/mm] * [mm] r_{0} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{0+1} [/mm] * [mm] r_{0} +(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{1+1} [/mm] * [mm] r_{0} [/mm] + ... + [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n+1-1} [/mm] * [mm] r_{0}
[/mm]
[mm] H_{n+1} [/mm] = [mm] ((\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n} [/mm] +( [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{1} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{2} [/mm] + ... + [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n})) [/mm] * [mm] r_{0} [/mm]
So, das oben bekomme ich raus.,
! die 1 von 1 + [mm] \wurzel{n} [/mm] ! aus dem ergebnis kann man einfach dazuaddieren (das ist der untere teil des kreises mit [mm] r_{0}).
[/mm]
aber das verändert nichts daran, dass ich etwas anderes rausbekomme.
Ich würde mich über hilfe freuen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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liegt wohl daran, der wert für [mm] r_{n} [/mm] bei mehr als zwei kammern anders ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Sa 13.09.2008 | | Autor: | chrisno |
summiere mal die geometrische Reihe auf. Kannst Du abschätzen, ob die Summe dann kleiner oder größer als
$1+ [mm] \wurzel{n} [/mm] $ ist? Wenn sie kleiner ist:
Ist das Maximum bei für zwei aufgesetzte Kappen das gleiche, wie wenn Du jeweils die von Dir berechneten Einzelmaxima nimmst?
Ich habe beim Nachrechnen bei "zu [mm] r_n" [/mm] aufgehört, bis dahin scheint mir es richtig zu sein. Bloß bin ich nicht sicher, ob der Weg stimmt, daher die obige Probe.
Ist das Schulmathematik?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Sa 13.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
So, habe mich mal rangesetzt (wieder mal eine schöne Aufgabe) und hoffe, dass ich so richtig angefangen habe.
Erstmal habe ich immer die Höhe bestimmt, in der man eine neue Halbkugel ansetzen muss, damit die Höhe des Turmes maximal wird.
Wie man bei dir auch schon sieht, muss man den aktuellen Radius immer durch [mm] \wurzel{2} [/mm] teilen und in der Höhe dann die nächste Halbkugel draufsetzen.
Dann würde ich einfach die ganzen Höhen aufsummieren und dann noch einmal den letzten Radius addieren. Für mehr als eine Kugel gilt ja dann:
[mm] h_2=\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] h_3=\bruch{1}{\wurzel{2}}+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^2+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^2
[/mm]
[mm] h_4=\bruch{1}{\wurzel{2}}+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^2+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^3+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^3
[/mm]
...
[mm] h_n=\bruch{1}{\wurzel{2}}+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^2+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^3+...+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n-1}+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n-1}
[/mm]
Mit der geometrischen Summenformel folgt daraus:
[mm] h_n=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\bruch{1-(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n-1}}{1-\bruch{1}{\wurzel{2}}}+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n-1}=\bruch{1-(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n-1}}{\wurzel{2}-1}+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n-1}
[/mm]
Für n=1 gilt die Formel auch, wie man durch einsetzen dann feststellen kann.
Dann kann es an die Induktion gehen. Da muss ich erst noch schauen, wie man das am besten macht. Der Anfang ist leicht [mm] (\wurzel{2}\le [/mm] 2)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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hi, danke für eure antworten, ein fehler in der annahme im ersten teil des threads ist, das das optimale verhältnis für jeden [mm] r_{n} [/mm] gleich ist.
das ist nicht so der wert für [mm] r_{n} [/mm] ( wobei [mm] r_{n}der [/mm] n-te radius der n-ten kugel von oben nach unten also von klein zu groß) gleich [mm] r_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{n}{n+1}} r_{n+1}
[/mm]
meine folgerungen die das "beweisen" oder zumindest offensichtlich darstellen sind ziemlich lang. deshalb habe ich die nicht dazugeschrieben.
in zwei sätzen ausgedrückt. es gibt immer n+1 terme (den radius der obersten kugel n-1 höhen der aufgesetzten kugeln + die unterste kugel) und die einzelnen terme werden zu jeweils zu
[mm] \wurzel{\bruch{(n-1)!}{(n!)}} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{n}{n+1}} r_{n+1}
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{(1}{(n)}} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{n}{n+1}} r_{n+1}
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{1}{n+1}} r_{n+1} [/mm]
es gibt dann n+1 summanden und dann kommt
[mm] {\bruch{n+1}{\wurzel{n+1}}} r_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{n+1} r_{n+1} [/mm] wobei
[mm] r_{n+1} [/mm] gleich dem radius der untersten kugel entspricht nämlich 1.
(alle zwischenschritte sind ausgelassen.)
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