grenzwert reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mi 10.12.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | berechne den grenzwert für
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n!}
[/mm]
b) d=0,123123123123......in der 4-adischen darstellung |
hallo!
zu a) ich weiß ja, dass [mm] \summe\bruch{1}{n!} [/mm] gegen e kvg. aber wie kann ich das hier anwenden?
ich kenne i.A. kein richtiges verfahren zur grenzwertbestimmung bei reihen--mit den ganzen kriterien (quotienten~,wurzel~,...) zeigt man ja immer nur, ob eine reihe kvg oder nicht--aber wie ermittle ich den GW??
b)die zahl kann ich ja auich darstellen als [mm] \bruch{1}{4}+\bruch{2}{4^2}+\bruch{3}{4^3}+\bruch{1}{4^4}+\bruch{2}{4^5}+...
[/mm]
wie kann ich nun umformen oder vereinfachen, sodass ich auf einen endlichen ausdruck komme? denn die geometrische reihe kann ich ja zb hier nicht anwenden, oder??
vielen dank und gruß
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> berechne den grenzwert für
>
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n!}[/mm]
> b)
> d=0,123123123123......in der 4-adischen darstellung
> hallo!
>
> zu a) ich weiß ja, dass [mm]\summe\bruch{1}{n!}[/mm] gegen e kvg.
> aber wie kann ich das hier anwenden?
Gar nicht.
Du brauchst nicht die Reihenentwicklung von e, sondern die von [mm] e^x. [/mm] Dann musst Du das x finden, dass Deine Reihe produziert. Das ist nicht schwierig.
> ich kenne i.A. kein richtiges verfahren zur
> grenzwertbestimmung bei reihen--mit den ganzen kriterien
> (quotienten~,wurzel~,...) zeigt man ja immer nur, ob eine
> reihe kvg oder nicht--aber wie ermittle ich den GW??
Da gibt es leider kein allgemeines Verfahren. Jede Reihe braucht einen eigenen Ansatz, wobei man mit ein bisschen Erfahrung schon Standardtypen erkennt. So deuten fortlaufende Fakultäten nur im Nenner nahezu sicher auf die e-Funktion.
> b)die zahl kann ich ja auich darstellen als
> [mm]\bruch{1}{4}+\bruch{2}{4^2}+\bruch{3}{4^3}+\bruch{1}{4^4}+\bruch{2}{4^5}+...[/mm]
> wie kann ich nun umformen oder vereinfachen, sodass ich
> auf einen endlichen ausdruck komme? denn die geometrische
> reihe kann ich ja zb hier nicht anwenden, oder??
Doch, gerade die geometrische Reihe kannst Du anwenden!
[mm] 0,\overline{123}_4=\bruch{123_4}{1000_4}+\bruch{123_4}{1000_4^{\ 2}}+\bruch{123_4}{1000_4^{\ 3}}+...+\bruch{123_4}{1000_4^{\ n}}+...=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{123_4}{1000_4^{\ i}}
[/mm]
Einfacher vielleicht zu lesen im Dezimalsystem, mit [mm] 123_4=27_{10} [/mm] und [mm] 1000_4=64_{10}
[/mm]
[mm] 0,\overline{123}_4=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{27}{64^i}
[/mm]
Das geht gut zu rechnen. Wenn Dir nebenbei noch etwas an den Zahlen 27 und 64 auffällt...
> vielen dank und gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mi 10.12.2008 | | Autor: | gigi |
> > berechne den grenzwert für
> >
> > a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n!}[/mm]
> > b)
> > d=0,123123123123......in der 4-adischen darstellung
> > hallo!
> >
> > zu a) ich weiß ja, dass [mm]\summe\bruch{1}{n!}[/mm] gegen e kvg.
> > aber wie kann ich das hier anwenden?
> Gar nicht.
> Du brauchst nicht die Reihenentwicklung von e, sondern die
> von [mm]e^x.[/mm] Dann musst Du das x finden, dass Deine Reihe
> produziert. Das ist nicht schwierig.
gut, dann nehme ich einfach folgendes: [mm] \summe \bruch{x^n}{n!}=e^x. [/mm] klar, das ergibt dann hier [mm] e^{-1}. [/mm] aber dieser satz wäre ja ersteinmal zu beweisen!! wie mache ich das (oder weißt du, wos steht??)
> > ich kenne i.A. kein richtiges verfahren zur
> > grenzwertbestimmung bei reihen--mit den ganzen kriterien
> > (quotienten~,wurzel~,...) zeigt man ja immer nur, ob eine
> > reihe kvg oder nicht--aber wie ermittle ich den GW??
>
> Da gibt es leider kein allgemeines Verfahren. Jede Reihe
> braucht einen eigenen Ansatz, wobei man mit ein bisschen
> Erfahrung schon Standardtypen erkennt. So deuten
> fortlaufende Fakultäten nur im Nenner nahezu sicher auf die
> e-Funktion.
>
> > b)die zahl kann ich ja auich darstellen als
> >
> [mm]\bruch{1}{4}+\bruch{2}{4^2}+\bruch{3}{4^3}+\bruch{1}{4^4}+\bruch{2}{4^5}+...[/mm]
> > wie kann ich nun umformen oder vereinfachen, sodass ich
> > auf einen endlichen ausdruck komme? denn die geometrische
> > reihe kann ich ja zb hier nicht anwenden, oder??
>
> Doch, gerade die geometrische Reihe kannst Du anwenden!
>
> [mm]0,\overline{123}_4=\bruch{123_4}{1000_4}+\bruch{123_4}{1000_4^{\ 2}}+\bruch{123_4}{1000_4^{\ 3}}+...+\bruch{123_4}{1000_4^{\ n}}+...=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{123_4}{1000_4^{\ i}}[/mm]
ich verstehe deine schreibweise nicht! ist meine falsch oder letztlich das gleiche??
>
> Einfacher vielleicht zu lesen im Dezimalsystem, mit
> [mm]123_4=27_{10}[/mm] und [mm]1000_4=64_{10}[/mm]
>
> [mm]0,\overline{123}_4=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{27}{64^i}[/mm]
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> Das geht gut zu rechnen. Wenn Dir nebenbei noch etwas an
> den Zahlen 27 und 64 auffällt...
>
> > vielen dank und gruß
>
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> gut, dann nehme ich einfach folgendes: [mm]\summe \bruch{x^n}{n!}=e^x.[/mm]
> klar, das ergibt dann hier [mm]e^{-1}.[/mm]
Genau!
> aber dieser satz wäre ja
> ersteinmal zu beweisen!! wie mache ich das (oder weißt du,
> wos steht??)
Wenn Du das nicht voraussetzen darfst, ist die Aufgabe eigentlich ohne Beweisklau nicht lösbar. Niemand wird verlangen, dass Du die Reihenentwicklung von [mm] e^x [/mm] herleiten kannst (es sei denn, ihr wäret thematisch gerade beim Thema Taylorreihen).
Ansonsten findest Du die Reihe in jeder Formelsammlung zur Analysis, sicher auch bei Wikipedia etc. Ich habe noch nicht mal gesucht, so sicher bin ich da. 
> > > b)die zahl kann ich ja auich darstellen als
> > >
> >
> [mm]\bruch{1}{4}+\bruch{2}{4^2}+\bruch{3}{4^3}+\bruch{1}{4^4}+\bruch{2}{4^5}+...[/mm]
> > > wie kann ich nun umformen oder vereinfachen, sodass
> ich
> > > auf einen endlichen ausdruck komme? denn die geometrische
> > > reihe kann ich ja zb hier nicht anwenden, oder??
> >
> > Doch, gerade die geometrische Reihe kannst Du anwenden!
> >
> >
> [mm]0,\overline{123}_4=\bruch{123_4}{1000_4}+\bruch{123_4}{1000_4^{\ 2}}+\bruch{123_4}{1000_4^{\ 3}}+...+\bruch{123_4}{1000_4^{\ n}}+...=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{123_4}{1000_4^{\ i}}[/mm]
>
> ich verstehe deine schreibweise nicht! ist meine falsch
> oder letztlich das gleiche??
Deine ist nicht falsch, verlangt aber vom Leser noch den Schritt, dass sich alle drei Stellen die Struktur wiederholt. So kommst Du ja nur über mindestens einen Zwischenschritt zu einem Grenzwert, wenn überhaupt.
Ich bin erstmal komplett 4-adisch geblieben, das liest sich dann wegen der [mm] "1000_4" [/mm] ein bisschen befremdlich.
> > Einfacher vielleicht zu lesen im Dezimalsystem, mit
> > [mm]123_4=27_{10}[/mm] und [mm]1000_4=64_{10}[/mm]
> >
> > [mm]0,\overline{123}_4=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{27}{64^i}[/mm]
Daher die Umsetzung in die gewohnte Schreibweise.
> >
> > Das geht gut zu rechnen. Wenn Dir nebenbei noch etwas an
> > den Zahlen 27 und 64 auffällt...
Dass beide Kubikzahlen sind, kommt leider nicht zum Tragen, weil ja wegen der Summenformel für geometrische Reihen schließlich [mm] \bruch{3}{7} [/mm] herauskommt, oder 4-adisch: [mm] \bruch{3_4}{13_4}.
[/mm]
> > > vielen dank und gruß
> >
LG, rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 10.12.2008 | | Autor: | gigi |
> > > > b)die zahl kann ich ja auich darstellen als
> > > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{1}{4}+\bruch{2}{4^2}+\bruch{3}{4^3}+\bruch{1}{4^4}+\bruch{2}{4^5}+...[/mm]
> > > > wie kann ich nun umformen oder vereinfachen,
> sodass
> > ich
> > > > auf einen endlichen ausdruck komme? denn die geometrische
> > > > reihe kann ich ja zb hier nicht anwenden, oder??
> > >
> > > Doch, gerade die geometrische Reihe kannst Du anwenden!
> > >
> > >
> >
> [mm]0,\overline{123}_4=\bruch{123_4}{1000_4}+\bruch{123_4}{1000_4^{\ 2}}+\bruch{123_4}{1000_4^{\ 3}}+...+\bruch{123_4}{1000_4^{\ n}}+...=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{123_4}{1000_4^{\ i}}[/mm]
>
> >
> > ich verstehe deine schreibweise nicht! ist meine falsch
> > oder letztlich das gleiche??
dein 1.summand repräsentriert praktisch meine ersten 3 summanden, oder?
> Deine ist nicht falsch, verlangt aber vom Leser noch den
> Schritt, dass sich alle drei Stellen die Struktur
> wiederholt. So kommst Du ja nur über mindestens einen
> Zwischenschritt zu einem Grenzwert, wenn überhaupt.
> Ich bin erstmal komplett 4-adisch geblieben, das liest sich
> dann wegen der [mm]"1000_4"[/mm] ein bisschen befremdlich.
>
> > > Einfacher vielleicht zu lesen im Dezimalsystem, mit
> > > [mm]123_4=27_{10}[/mm] und [mm]1000_4=64_{10}[/mm]
> > >
> > > [mm]0,\overline{123}_4=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{27}{64^i}[/mm]
> Daher die Umsetzung in die gewohnte Schreibweise.
ok, diese umschreibung versteh ich auch.
>
> > >
> > > Das geht gut zu rechnen. Wenn Dir nebenbei noch etwas an
> > > den Zahlen 27 und 64 auffällt...
> Dass beide Kubikzahlen sind, kommt leider nicht zum
> Tragen, weil ja wegen der Summenformel für geometrische
> Reihen schließlich [mm]\bruch{3}{7}[/mm] herauskommt, oder 4-adisch:
> [mm]\bruch{3_4}{13_4}.[/mm]
>
aber dann scheitere ich wohl bei der anwendung der geom. reihe! was genau ist mein q? ich sehe beim besten willen nicht, wie ich aufs ergebnis komme!
> > > > vielen dank und gruß
> > >
>
> LG, rev
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> > > > [mm]0,\overline{123}_4=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{27}{64^i}[/mm]
> aber dann scheitere ich wohl bei der anwendung der geom.
> reihe! was genau ist mein q? ich sehe beim besten willen
> nicht, wie ich aufs ergebnis komme!
Hallo,
das Ergebnis mußt Du ja noch nicht sehen, es reicht erstmal, wenn Du erkennst, wo eine geometrische Reihe ist.
Ist Dir klar, daß Du den Faktor 27 vor die Summe ziehen kannnst?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:11 Do 11.12.2008 | | Autor: | gigi |
damit komme ich dann aber auf [mm] 27\bruch{3}{7}.
[/mm]
gruß und dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:19 Do 11.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo gigi!
Wie kommst du auf diesen Wert? Rechne das mal bitte vor.
Hast Du auch berücksichtigt (bei der Formel für die geometrische Reihe), dass in Deiner Aufgabe die Summe erst bei $i \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] startet?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Do 11.12.2008 | | Autor: | gigi |
[mm] ...27\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{64})^i=27 \bruch{1}{1-\bruch{1}{64}}=27\bruch{3}{7}
[/mm]
nein, i=1 habe ich dabei nicht beachtet, weil ich nicht weiß WIE???
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> [mm]...27\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{64})^i=27 \bruch{1}{1-\bruch{1}{64}}=27\bruch{3}{7}[/mm]
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> nein, i=1 habe ich dabei nicht beachtet, weil ich nicht
> weiß WIE???
Hallo,
ich hoffe doch sehr stark, daß Du Dich nach einigen Wochen des Studiums so weit mit der Summenformel auskennst, daß Du weißt, was der Unterschied zwischen
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] und [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_n [/mm] ist.
Wenn nicht, dann schreib mal beide Summen aus. Und dann sag, wie Du [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] mithilfe von [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_n [/mm] erhältst.
Diese Kenntnisse wäre dann bei der Berechnung von [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{64})^i [/mm] anzuwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 11.12.2008 | | Autor: | gigi |
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i=\summe_{i=1}^{\infty}a_i -a_0
[/mm]
oder?? wenn ich das auf das bsp anwende, dann würde ich rechnen:
27 [mm] \summe_{i=0}^{\infty}((\bruch{1}{64})^i)- (\bruch{1}{64})^0= 27(\bruch{1}{1-\bruch{1}{64}} [/mm] - 1)..........und klar, da komm ich dann aufs erbegnis [mm] \bruch{3}{7}!!!
[/mm]
und ist das dann der grenzwert? denn ich habe ja hier garnix mit limes oder so gemacht....
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_i=\summe_{i=\red{0}}^{\infty}a_i -a_0[/mm]
>
> oder??
Hallo,
ich denke, Du meinstest das so, wie ich's jetzt korrigiert habe.
wenn ich das auf das bsp anwende, dann würde ich
> rechnen:
> 27 [mm]\summe_{i=0}^{\infty}((\bruch{1}{64})^i)- (\bruch{1}{64})^0= 27(\bruch{1}{1-\bruch{1}{64}}[/mm]
> - 1)..........und klar, da komm ich dann aufs erbegnis
> [mm]\bruch{3}{7}!!![/mm]
>
> und ist das dann der grenzwert?
Ja.
> denn ich habe ja hier
> garnix mit limes oder so gemacht....
Doch. Vielleicht hast Du es nicht gemerkt.
In dem Moment, wo Du mit den geometrischen Reihen herumwurschtest und verwendest, daß Du gelernt hast, da? sie konvergieren und Du sogar ihren Grenzwert kennst, machst Du was mit "limes oder so".
Gruß v. Angela
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