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hallo!!
folgende aufgabe bzw. term:
lim ( 1/sin²x - 1/x²+x)
x->0
es soll der grenzwert herrausgefunden werden!? wir hatten heute den satz von L'hospital kennengelernt. aber irgendwie komme ich trotzdem nicht weiter? oder is die aufgabe anders zu lösen??
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> folgende aufgabe bzw. term:
>
> lim ( 1/sin²x - 1/x²+x)
> x->0
Der letzte Summand geht gegen $0$, das ist klar.
Wie aber sieht es mit der Summe der beiden ersten Summanden aus? Der erste Summand [mm] $\frac{1}{\sin^2(x)}$ [/mm] geht gehen [mm] $+\infty$, [/mm] und der zweite Summand [mm] $-\frac{1}{x^2}$ [/mm] geht gegen [mm] $-\infty$.
[/mm]
Insofern ist hier nicht klar, wie sich die Summe verhält.
Ausweg:
Man bringt beides auf einen Bruch
[mm] $\frac{1}{\sin^2(x)}-\frac{1}{x^2} [/mm] = [mm] \frac{x^2 - \sin^2(x)}{\sin^2(x) \cdot x^2}$ [/mm]
und wendet dann de 'Hospital an.
Versuchst du letzteres bitte mal? 
Viele Grüße
Julius
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hallo!!
sorry für meine blöde schreibweise!! aber die aufgabe war:
lim 1/sin²x - 1/(x²+x)
x->0
also das x kommt noch unter den zweiten bruchstrich...
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christoph!
So was ähnliches hatte ich mir schon fast gedacht ...
Bitte mache Dich mal mit unserem Formeleditor etwas vertraut, um solche Mißverständnisse zu vermeiden (und sooo schwer ist das wirklich nicht) ...
Geh' doch einfach mal mit dem Mauszeiger über meine Formel oder click diese mal an ...
Du meinst also:
[mm] $\limes_{x \rightarrow 0} \left[\bruch{1}{\sin^2(x)} - \bruch{1}{x^2+x}\right]$
[/mm]
Auch hier müssen wir diesen Ausdruck auf einem Bruch schreiben, um den Grenzwertsatz nach de l'Hospital anwenden zu können:
[mm] $\bruch{1}{\sin^2(x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^2+x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(x^2+x\right) - \sin^2(x)}{\sin^2(x) * \left(x^2+x\right)}$
[/mm]
Wenn wir nun also für x die Null einsetzen würden, entstünde der Ausdruck " [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] ". Wir können also mit de l'Hospital arbeiten.
Dafür müssen wir nun den Zähler und den Nenner getrennt für sich ableiten (bitte, bitte nicht mit der  Quotientenregel verwechseln!).
[mm] $\limes_{x \rightarrow 0} \left[\bruch{1}{\sin^2(x)} - \bruch{1}{x^2+x}\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{\left(x^2+x\right) - \sin^2(x)}{\sin^2(x) * \left(x^2+x\right)}$
[/mm]
$= \ [mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{\left[\left(x^2+x\right) - \sin^2(x)\right]'}{\left[\sin^2(x) * \left(x^2+x\right)\right]'}$
[/mm]
$= \ ...$
Versuch' das mal und poste doch Deine Ergebnisse zur Kontrolle ...
Gruß
Loddar
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so die ableitungen einzeln vom zähler:
(2x+1) - 2*(sinx*cosx) --> bin mir bei der ableitung von sin²x unsicher...
nenner:
2*(sinx*cosx)*(2x+1)
so nach meinen ableitungen kommt im nenner immernoch 0 herraus, was bedeuten musste, das weiterer abletiungen folgen müssten!
jedoch wäre es super, wenn die terme erstmal überprüfut werden könnten!!
mfg
ps: mit dem formeleditor werde ich mich am wochenende auseinandersetzen!:)
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hallo!!
aha und warum darf man produktregel anwenden, aber keine quotientenregel??
sorry vielleicht ist die frage dumm.. aber wie gesagt hab heute erst den satz von L'hospital kennen gelernt
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Max |
Also, wenn du auf den Link den Loddar gepostet hat geklickt hast, stand dort die Regel erläutert, es gilt halt unter den entsprechenden Voraussetzungen dass
[mm] $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 0 } \frac{f'(x)}{g'(x)}$
[/mm]
Dabei fällt halt auf, dass der hintere Term entsteht. indem man einfach den Zähler ableitet und den Nenner ableitet (und nicht zB Quotientenregel anwendet).
Die beiden Ableitungen $f'$ und $g'$ werden aber nach allen gültigen Regeln gebildet, d.h. wenn $f$ ein Produkt ist, wird auch Produktregel verwendet. Es kann auch mal passieren, dass man sogar einen Quotienten im Zähler hat und dann $f'$ auch durch Quotientenregel bilden muss.
Gruß Brackhaus
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hallO!!
ok nun habe ich im zähler 2x+1 -2*(sinx*cosx) und im nenner 2 [mm] *sin(x)*cos(x)*(x^2+x) [/mm] + [mm] sin^2(x)*(2x+1)
[/mm]
aber wenn ich im nenner nun die 0 einsetze komt wieder null herraus, was bedeuten würde ich müsste noch eine ableitung machen richtig?!?
aber von diesem term noch eine ableitung.. wow. oder gibt es eine einfacherere lösung?
mfg
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Hallo declatereter,
da kann ich dich beruhigen, du musst nicht alles nochmal ableiten.
Da der Zähler gegen $1$ geht, der Nenner aber gegen $0$, geht deine ursprüngliche Funktion gegen [mm] $\pm \infty$.
[/mm]
Du musst jetzt nur noch entscheiden, ob gegen [mm] $+\infty [/mm] $ oder [mm] $-\infty$...
[/mm]
Dafür musst du dir überlegen, ob [mm] $2\sin(x)\cos(x)(x^2+x)+\sin^2(x)(2x+1)$ [/mm] gegen $0^+$ oder $0^-$ geht.
Gruß, banachella
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hallo!
ist mit ursprüngliche die 1/sin²x - 1/(x²+x) gemeint?
also von 0^+ und 0^- hab ich schon gehört, aber genau kenne ich mich damit nicht aus... wie entscheide ich das denn??
mfg
ps: und die lösung der aufgabe wäre dann 0^+ oder 0^- oder wie?:)
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Hi, declatereter,
> ist mit ursprüngliche die 1/sin²x - 1/(x²+x) gemeint?
Zunächst mal erst der "Grenzwert" der zuletzt da stehenden Funktion;
wegen der Regel von de L'Hospital hat die anfangs gegebene Funktion aber denselben "Grenzwert".
(PS: Warum ich hier Grenzwert in Anführungszeichen schreibe: Es kommt ja [mm] \infty [/mm] raus und das ist "nur" ein "uneigentlicher Grenzwert". Dass hier L'Hospital verwendet werden darf, ist gar nicht so trivial und wird oft als eigene Regel formuliert. Doch das nur nebenbei!)
> also von 0^+ und 0^- hab ich schon gehört, aber genau
> kenne ich mich damit nicht aus... wie entscheide ich das
> denn??
Wenn x=0 nicht linker oder rechter Rand der Definitionsmenge ist, musst Du bei einer Grenzwertrechnung eigentlich immer beide Grenzwerte, also von rechts (x [mm] \to 0^{+} [/mm] oder x [mm] \to [/mm] 0+h oder x [mm] \to [/mm] 0, x>0; es gibt dafür viele gleichwertige Schreibweisen) und auch von links (x [mm] \to 0^{-}) [/mm] berechnen. In vielen Fällen weiß man aber vorher, dass beide Male dasselbe rauskommt; dann darf man zusammenfassend x [mm] \to [/mm] 0 schreiben, obwohl's eigentlich 2 Grenzwerte sind.
Nun gilt als (unmathematische, aber leicht zu merkende) Faustregel:
[mm] \bruch{1}{0^{+}} [/mm] = [mm] +\infty;
[/mm]
[mm] \bruch{1}{0^{-}} [/mm] = [mm] -\infty.
[/mm]
Übrigens gilt natürlich analog:
[mm] \bruch{1}{\pm\infty} [/mm] = 0
(Hier kommt's dann nicht mehr auf's Vorzeichen an!)
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hallO!!
also ist nun 0 das ergebnis oder habe ich das jetzt falsche verstanden??? aber durch 0 darf man doch nich teilen... bin verwirrt!:)
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
> also ist nun 0 das ergebnis oder habe ich das jetzt falsche
> verstanden
Ja, du hast das falsch verstanden, der Grenzwert ist nicht 0! Ich bleibe mal bei der unmathematischen Schreibweise, der Grenzwert ist wohl [mm] $\frac{1}{0}$, [/mm] wobei dich zwerglein völlig zurecht darauf hingewiesen hat, dass man entscheiden muss ob sich im Nenner lauter positive oder lauter negative Zahlen gegen 0 nähern, da dadurch das Vorzeichen von [mm] $\frac{1}{0}$ [/mm] festgelegt wird.
Max
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Hast du aber richtig gemacht.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
