grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Di 23.09.2008 | | Autor: | owner2k4 |
hi,
wie berechne ich den grenzwert von
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^{2n+1}
[/mm]
die lösung ist [mm] e^{-2}
[/mm]
kann man das ohne l'hospital berechnen? ich habs damit versucht aber das führt zu nix.
danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Di 23.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo owner!
Formen wir mal etwas um, um auf einen bekannten Grenzwert zurückgreifen zu können ...
[mm] $$\left(\bruch{n}{n+1}\right)^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n+1-1}{n+1}\right)^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n+1}{n+1}+\bruch{-1}{n+1}\right)^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{2n+1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{2n+2-1} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{2n+2}*\left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \left[\left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^2*\left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{-1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Di 23.09.2008 | | Autor: | owner2k4 |
danke erstmal für die umformung, ich kann jedoch auch mit dem "bekannteren grenzwert" nicht viel anfangen.
ich hät jetzt einfach aus
(1 + [mm] \bruch{-1}{n+1})
[/mm]
das
(1+0)
gemacht, da im zähler eine konstante steht und um nenner das n, welches gegen unendlich läuft. das würde dann aufn grenzwert von 1 hinauslaufen.. was also falsch ist. wie geht es richtig weiter ?
|
|
|
| |
|
Hallo owner2k4,
> danke erstmal für die umformung, ich kann jedoch auch mit
> dem "bekannteren grenzwert" nicht viel anfangen.
>
> ich hät jetzt einfach aus
>
> (1 + [mm]\bruch{-1}{n+1})[/mm]
>
> das
>
> (1+0) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
das stimmte, falls dort im ersten Term [mm] $\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)$ [/mm] stünde, tatsächlich steht dort aber [mm] $\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{\red{n+1}}$ [/mm] !!
(und das eigentlich noch zum Quadrat, betrachte es aber ohne Quadrat, der Rest folgt mit den Grenuwertsätzen ...)
Ihr hattet bestimmt in der VL, dass [mm] $\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m [/mm] \ = \ e \ [mm] \left(=e^1\right)$
[/mm]
Bzw. damit allgemeiner [mm] $\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\frac{a}{m}\right)^m [/mm] \ = \ [mm] e^{a}$
[/mm]
>
> gemacht, da im zähler eine konstante steht und um nenner
> das n, welches gegen unendlich läuft. das würde dann aufn
> grenzwert von 1 hinauslaufen..
das stimmt nur für den zweiten Term [mm] $\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{-1}$
[/mm]
der strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $1^{-1}=1$
[/mm]
> was also falsch ist. wie geht es richtig weiter ?
Passe die obige Formel für [mm] $e^{a}$ [/mm] etwas an deinen Fall an ($m:=n+1$) ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Di 23.09.2008 | | Autor: | owner2k4 |
hat super geklappt mit der formel danke.
für 2 aufgaben bräucht ich aber noch einen denkanstoß:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{4n^{2} + 5n +2}-2n
[/mm]
ich habs mit quadratischer ergänzung mit dem was in der wurzel steht versucht. ohne erfolg :)
[mm] \limes_{x\rightarrow\00}\bruch{1-cosx}{x^{2}}
[/mm]
da x gegen 0 laeuft, laeuft cosx gegen 1. dh ich hab im zaehler und im nenner eine unendlich kleine zahl. was ist aber nun der grenzwert ? gibt es ueberhaupt einen ?
|
|
|
| |
|
Hey
> hat super geklappt mit der formel danke.
>
> für 2 aufgaben bräucht ich aber noch einen denkanstoß:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{4n^{2} + 5n +2}-2n[/mm]
> ich
> habs mit quadratischer ergänzung mit dem was in der wurzel
> steht versucht. ohne erfolg :)
Versuche mal mit [mm] \wurzel{4n^{2} + 5n +2}\red{+}2n [/mm] zu erweitern.
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00}\bruch{1-cosx}{x^{2}}[/mm]
> da x gegen 0 laeuft, laeuft cosx gegen 1. dh ich hab im
> zaehler und im nenner eine unendlich kleine zahl. was ist
> aber nun der grenzwert ? gibt es ueberhaupt einen ?
>
Also hast du den Typ [mm] \frac{0}{0} [/mm] und kannst die Regel von l'Hospital anwenden.
Grüße Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Mi 24.09.2008 | | Autor: | owner2k4 |
zur 1. aufgabe
wenn ich damit erweiter.. hab ich 3.binomische formel.. und komme dann schlussendlich auf 5n+2.. kein grenzwert .. ist das richtig ?
zur 2 aufgabe
ich depp :)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> zur 1. aufgabe
> wenn ich damit erweiter.. hab ich 3.binomische formel..
> und komme dann schlussendlich auf 5n+2.. kein grenzwert ..
Nein, was ist denn mit dem Nenner, der bei der Multiplikation mit [mm] $\frac{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n}{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n}$ [/mm] entsteht?
Du kannst dort unter der Wurzel [mm] 4n^2 [/mm] auklammern, es "rausziehen" (mit Schmackes  ) und dann insgesamt im Nenner nochmal n ausklammern ...
Im Zähler ebenfalls n ausklammer und dann ...
> ist das richtig ?
>
> zur 2 aufgabe
> ich depp :)
Alternativ und (wie ich finde ganz schön) kannst du auch - falls ihr das schon hattet - für den [mm] \cos [/mm] die Potenzreihe bzw. die Taylorreihe schreiben ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 Mi 24.09.2008 | | Autor: | owner2k4 |
ziemlich tricky die ganze geschichte :)
grenzwert ist [mm] \bruch{5}{4} [/mm] und stimmt mit der lösung überein
danke euch und gute nacht !
|
|
|
|
