grenzwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Di 26.02.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgenden beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
wenn ich sage:
- x=0 mit y gegen 0:
beomme ich ja 0 als grenzwert herraus
- y=0 mit x gegn 0:
grenzwert: 0
- y=x gegen 0
grenzwert: 0
also existiert ein grenzwert (gegen 0) oder?? oder muss ich da jetzt noch [mm] x=r*cos(\alpha) [/mm] und [mm] y=r*sin(\alpha) [/mm] einsetzen und den grenzwert berechnen?
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:18 Di 26.02.2008 | | Autor: | clwoe |
Hi,
du hast schon recht mit deiner Lösung und es reicht auch der erste Teil. Das mit Sinus usw. brauchst du nicht.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 26.02.2008 | | Autor: | Dagobert |
danke :)
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:06 Di 26.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo clwoe und dagobert.
Es reicht nie sich der Null nur auf irgendwelchen speziellen Wegen zu nähern. Im Gebirge gibt es Wege, mit denen man herrlich und bequem ins Tal kommt, wenn man einen etwas anderen wählt kommt man an nen plötzlichen Absturz! und (f(x,y)=const ist ein Gebirge, auf manchen Wegen kommt man nach 0 auf anderen eben nicht!
Also ist das x=rcost,y=rsint r gegen 0 der beste Weg zu testen, denn dann sieht man direkt obs von der Richtung abhängt!
natürlich reichen um die Unstetigkeit zu zeigen auch 2 geschickt ausgewählte Richtungen, oft hilft mal auf dem Weg [mm] y=x^2 [/mm] oder [mm] x=y^2 [/mm] zu laufen und natürlich auf x=0 zum vergleich schon um die Unstetigkeit zu zeigen. Für die Stetigkeit dagegen muss man es immer aus bel. Richtungen Machen. d.h. in JEDER Umgebung von (0,0) ist f(x,y)=a nur dann ist der GW a und die fkt stetig ergänzbar.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Di 26.02.2008 | | Autor: | andreas |
hi
ich fürchte so einfach ist das hier nicht. für $f(x, y) = [mm] \frac{xy^2}{x^2 + y^4}$ [/mm] existiert [mm] $\lim_{(x, y) \to (0,0)} [/mm] f(x, y)$ nicht. dies erkennt man aber nicht, wenn man nur die grenzwerte auf den achsen oder auf den winkelhalbierenden betrachtet, sondern erst, wenn man zum beispiel untersucht, ob der grenzwert auch von der folge [mm] $(x_n, y_n) [/mm] = [mm] \left( \frac{1}{n^2}, \frac{1}{n} \right) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] (0, 0)$ respektiert wird. du musst dir also überlegen, ob der grenzwert auch angenommen wird, egal welchen weg man zu $(0, 0)$ wählt.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 26.02.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
wie bist du auf f(x, y) = [mm] \frac{xy^2}{x^2 + y^4} [/mm] gekommen? hab leider nicht viel plan was du gemeint hast bzw wie ich das machen soll? :(
danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 26.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das war einfach ein weiteres, einfacheres Beispiel für deinen Irrweg beim Beweisen
Deine fkt ist stetig fortsetzbar, d.h. der GW existiert, (im Zähler [mm] r^5 [/mm] im Nenner nur [mm] r^4 [/mm] also geht es mit r gegen 0 unabhängig vom Winkel gegen 0.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
wenn ich da mal einsetze:
x=r*cos(a)
y=r*sin(a)
[mm] f(x,y)=r*cos(a)*r^2*sin^2(a)*(r^2*cos^2(a)-r^2*sin^2(a))/((r^4*cos^4(a)+2*r^2*cos^2(a)*r^2*sin^2(a)+r^4*sin^4(a))
[/mm]
wenn ich das oben ausmultipliziere:
[mm] =(r*cos(a)*r^2*sin^2(a)*r^2*cos^2(a)-r*cos(a)*r^2*sin^2(a)*r^2*sin^2(a))/((r^4*cos^4(a)+2*r^2*cos^2(a)*r^2*sin^2(a)+r^4*sin^4(a))
[/mm]
hab ich dann nochmal vereinfacht:
= [mm] r^3*cos^3(a)*r^2*sin^2(a)-r^4*sin^4(a)*r*cos(a)/((r^4*cos^4(a)+2*r^2*cos^2(a)*r^2*sin^2(a)+r^4*sin^4(a))
[/mm]
nur ketzt komm ich irgendwie nicht mehr weiter? :(
vl könnte mir da wer helfen...
danke!
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Hallo Dagobert,
puh, bloß nicht alles ausmultiplizieren, benutze unbedingt, dass [mm] $\sin^2(\phi)+\cos^2(\phi)=1$ [/mm] ist
Mit [mm] $x=r\cos(\phi)$ [/mm] und [mm] $y=r\sin(\phi)$ [/mm] bekommst du also
[mm] $f(x,y)=\frac{xy^2(x^2-y^2)}{x^4+2x^2y^2+y^4}=\frac{xy^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{r\cos(\phi)\cdot{}r^2\sin^2(\phi)\cdot{}r^2(\cos^2(\phi)-\sin^2(\phi))}{(r^2(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)))^2}=\frac{r^5\cos(\phi)\sin^2(\phi)(\cos^2(\phi)-\sin^2(\phi))}{r^4}=r\cdot{}\cos(\phi)\sin^2(\phi)(\cos^2(\phi)-\sin^2(\phi))$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $r\to [/mm] 0$ gegen 0, unabhängig vom Winkel [mm] $\phi$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mi 27.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
BINOME ERKENNEN : Nenner [mm] (x^2+y^2)^2=r^4 [/mm]
Zähler zuerst alle r sammeln [mm] r^5 [/mm] jetzt kommts auf das cost*sin^2t*(sin^2t-cos^2t) nicht mehr an, den die sind für alle t <1 also bleibt nur r*.. übrig gegen 0 für r gegen 0.
D.H. immer wenn du im Zähler ne höhere Potenz von r als im Nenner hast hast du Stetigkeit, dann kann man all die sin und cos schnell abschätzen. (nur imm Nenner sollte für kein t 0 auftreten!)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Di 26.02.2008 | | Autor: | clwoe |
also ich habe die Funktion zur Sicherheit auch mal geplottet und der Grenzwert existiert. Außerdem hätte ich gedacht, das die Erklärung ausreichte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Di 26.02.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo Dagobert,
> hallo!
> hätte ne frage zu folgenden beispiel:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> wenn ich sage:
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> - x=0 mit y gegen 0:
> beomme ich ja 0 als grenzwert herraus
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> - y=0 mit x gegn 0:
> grenzwert: 0
>
> - y=x gegen 0
> grenzwert: 0
>
> also existiert ein grenzwert (gegen 0) oder?? oder muss ich
> da jetzt noch [mm]x=r*cos(\alpha)[/mm] und [mm]y=r*sin(\alpha)[/mm] einsetzen
> und den grenzwert berechnen?
Das stimmt, aber der Rechenweg, wie Du dort hinkommst fehlt.
>
> danke!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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