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| Aufgabe | Gegeben sei die zweimal steig diffbare Funktion [mm] f:\IR^{+}\to\IR^{+} r\mapsto [/mm] f(r(x)) mit [mm] r(x):=\left|| x\right||_{2}, x\in \IR^n [/mm] ohne {0}.
Bestimmen sie in allgemeiner Form
[mm] \nabla [/mm] f und [mm] \Delta [/mm] f und weißen sie anschließend die Funktion [mm] f(r)=r^{2-n} [/mm] nach, dass =0 gilt. |
Hallo.
Mh ich komm nicht so recht voran hier. Kann mir bitte jemand helfen.
Also ich hab ja so zu sagen einen Fahrplan bekommen.
Zuerst r selbst differenzieren. Dann Gradient dann Laplace und Kettenregel anwenden.
Mh also die Definitionen hab ich ja von Gradient und Laplace.
Aber ich hab schon schwierigkeiten r differenzieren?
Ableitung von [mm] \left|| x\right||_{2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}\left| x_{i}\right|^2 } [/mm] keine wirklich idee und erst recht nicht bei f(r)
Kann mir jemand helfen?
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Hallo Grashalm!
Du kannst die partiellen Ableitungen von $r$ mit der Kettenregel bestimmen. Du kannst ja anfangs mal $n = 2$ setzen und dann partiell nach beiden Variabeln ableiten. Dann wirst du hoffentlich sehen, wie es für größere $n$ klappt.
Ich hoffe, das hilft dir ein wenig weiter!
Gruß!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Di 29.05.2007 | | Autor: | grashalm |
Ich weiß ja genau nicht wie ich ein derartiges r ableite. Kann mir bitte jemand helfen. Bzw was ich dann damit anstelle.
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Hallo!
Ich mache es dir einmal für $n = 2$ vor, aber es sollte dir dann nicht mehr schwerfallen, auf größere $n$ zu schließen. Also es gilt [mm] $\| [/mm] x [mm] \| [/mm] = [mm] \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$. [/mm] Damit gilt
[mm] $$\frac{\partial}{\partial x_1} \| [/mm] x [mm] \| [/mm] = [mm] \frac{2x_1}{2\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} [/mm] = [mm] \frac{x_1}{\| x \|}$$
[/mm]
Dabei habe ich einfach die Kettenregel angewendet (achte auf die innere Ableitung).
Gruß!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mi 30.05.2007 | | Autor: | grashalm |
Gut also die partiellen Ableitungen sind immer in dieser Form:
[mm] \frac{\partial}{\partial x_n} \| [/mm] x [mm] \| [/mm] = [mm] \frac{2x_n}{2\sqrt{x_1^2 +...+ x_n^2}} [/mm] = [mm] \frac{x_n}{\| x \|}
[/mm]
Aber wie komme ich dann auf Gradient und Laplace von f???
Wie bring ich das r mit f in Verbindung
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mi 30.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke in deinem ersten post muss stehen f(r(x)) und nicht r(r(x)
dann gilt einfach :
[mm][mm] \frac{\partial}{\partial x_n}f=f_x*r_x
[/mm]
also die Kettnregel wie im eindimensionalen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Do 31.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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