grad eines zerfällungskörpers < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | bestimmen sie für die folgenden polynome über [mm] \IQ [/mm] den grad eines minimalen zerfällungskörpers:
(a) [mm] x^{2} [/mm] - 1 |
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
ich fange erst mal mit (a) an,denn ich habe eine grundsätzliche frage ,wie man den grad eines zerfällungskörpers herausfindet.
mein ansatz: in [mm] \IQ [/mm] zerfällt [mm] x^{2} [/mm] - 1 in (x-1)(x+1),also ist es das kleinste polynom mit a=1 bzw. a=-1 als nullstelle? (oder ist (x-1) das minimalpolynom zu a=1 als nullstelle und x+1 das minimalpolynom zu a=-1 als nullstelle?)es ist also [mm] x^{2} [/mm] - 1 das minimalpolynom im körper [mm] \IQ.alles [/mm] was ich über den grad des zerfällungskörpers weiss:
der grad einer körpererweiterung(der zerfällungskörper ist eine) ist definiert als: seien [mm] L\le [/mm] K körper ,dann gilt für den grad der körpererweiterung L:K :
grad L:K [mm] \le [/mm] n! (hier ist also n=2) und grad L:K teilt n!=2
es kann also nur 1 oder 2 herauskommen.in der schule kam das ergebnis 1
heraus.wie rechnet man das aus
kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Sa 11.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> bestimmen sie für die folgenden polynome über [mm]\IQ[/mm] den
> grad eines minimalen zerfällungskörpers:
> (a) [mm]x^{2}[/mm] - 1
> ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
> ich fange erst mal mit (a) an,denn ich habe eine
> grundsätzliche frage ,wie man den grad eines
> zerfällungskörpers herausfindet.
>
> mein ansatz: in [mm]\IQ[/mm] zerfällt [mm]x^{2}[/mm] - 1 in (x-1)(x+1),
Genau.
> also
> ist es das kleinste polynom mit a=1 bzw. a=-1 als
> nullstelle?
Wenn du das `bzw.' durch `und' ersetzt, dann ja. Und wenn du mit `kleinstes Polynom' das eindeutig bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades meinst.
> (oder ist (x-1) das minimalpolynom zu a=1 als
> nullstelle und x+1 das minimalpolynom zu a=-1 als
> nullstelle?)
Ja.
> es ist also [mm]x^{2}[/mm] - 1 das minimalpolynom im
> körper [mm]\IQ.alles[/mm] was ich über den grad des
> zerfällungskörpers weiss:
Nein, das ist kein Minimalpolynom.
> der grad einer körpererweiterung(der zerfällungskörper
> ist eine) ist definiert als: seien [mm]L\le[/mm] K körper ,dann
> gilt für den grad der körpererweiterung L:K :
> grad L:K [mm]\le[/mm] n! (hier ist also n=2) und grad L:K teilt
> n!=2
Ja.
> es kann also nur 1 oder 2 herauskommen.in der schule kam
> das ergebnis 1
> heraus.wie rechnet man das aus
Was hat das mit der Schule zu tun?!?
Nun, der Zerfaellungskoerper ist hier $K = [mm] \IQ(+1, [/mm] -1)$. Da $+1, -1 [mm] \in \IQ$ [/mm] liegen gilt [mm] $\IQ(+1, [/mm] -1) = [mm] \IQ$. [/mm] Also ist $K = [mm] \IQ$ [/mm] der Zerfaellungskoerper, und $[K : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \dim_\IQ [/mm] K = [mm] \dim_\IQ \IQ [/mm] = 1$.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:12 Sa 11.07.2009 | | Autor: | pumpernickel |
hi felix.warum kommt da 1 raus,ich verstehe das nicht.wie macht man das denn?
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wie sieht es aus z.b. mit
p(t)= [mm] t^{4} [/mm] +1
[mm] =(x^{2} +1)(x^{2} [/mm] -1)
[mm] =(x-i)(x+i)(x^{2} [/mm] +1)
setze nun [mm] a=\bruch{(1+i)}{\wurzel{2}} [/mm] mit [mm] a^{2} [/mm] = i
dann ist p(t)=(x-a)(x+a)(x-ia)(x+ia)
der minimale zerfällungskörper ist hier: [mm] \IQ (i,\wurzel{2})
[/mm]
der grad des min. zerf.-körpers ist der grad des minimalpolynoms für
die nullstelle i mal dem grad des minimalpolynoms für die nullstelle [mm] \wurzel{2} [/mm] .
kann jemand überprüfen ,ob ich hier recht habe?:
für i ist das min.polynom :(x-ia)(x+ia) mit grad 2
für [mm] \wurzel{2} [/mm] ist das min.polynom :(x-a)(x+a) mit grad 2
nun mein problem i und [mm] \wurzel{2} [/mm] kommen in allen linearfaktoren vor.
woher kann ich wissen ,ob die beiden oben genannten minimalpolynome auch wirklich minimal sind.der "trick" a gleich [mm] \bruch{(1+i)}{\wurzel{2}} [/mm] mit [mm] a^{2} [/mm] = i
bringt mich nun irgendwie später beim abzählen wieder durcheinander.
kann jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:16 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> wie sieht es aus z.b. mit
> p(t)= [mm]t^{4}[/mm] +1
> [mm]=(x^{2} +1)(x^{2}[/mm] -1)
> [mm]=(x-i)(x+i)(x^{2}[/mm] +1)
Hier sind fast alle Gleichheitszeichen falsch!
Einmal ist [mm] $t^4 [/mm] + 1 = [mm] (x^2 [/mm] + i) [mm] (x^2 [/mm] - i)$, und es ist [mm] $(x^2 [/mm] + 1) [mm] (x^2 [/mm] - 1) = (x - 1) (x + 1) [mm] (x^2 [/mm] + 1)$.
> setze nun [mm]a=\bruch{(1+i)}{\wurzel{2}}[/mm] mit [mm]a^{2}[/mm] = i
> dann ist p(t)=(x-a)(x+a)(x-ia)(x+ia)
Da $(x - a) (x + a) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - i$ ist und $(x - i a) (x + i a) = [mm] x^2 [/mm] - (i [mm] a)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + i$ ist dies schon die richtige Zerlegung von $p$. Allerdings bist du da wohl ganz anders drauf gekommen als mit den Umformungen oben!
Es ist uebrigens [mm] $a^3 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] a = i a$, [mm] $a^5 [/mm] = [mm] (a^2)^2 [/mm] a = [mm] i^2 [/mm] a = -a$, [mm] $a^7 [/mm] = [mm] a^2 (a^2)^2 [/mm] a = -i a$, womit $p(x) = (x - a) (x - [mm] a^3) [/mm] (x - [mm] a^5) [/mm] (x - [mm] a^7)$ [/mm] ist.
> der minimale zerfällungskörper ist hier: [mm]\IQ (i,\wurzel{2})[/mm]
Oder auch einfach [mm] $\IQ(a)$.
[/mm]
> der grad des min. zerf.-körpers ist der grad des
> minimalpolynoms für
> die nullstelle i mal dem grad des minimalpolynoms für die
> nullstelle [mm]\wurzel{2}[/mm] .
Hier schon, aber im Allgemeinen gilt das nicht! So ist z.B. der Grad von [mm] $\IQ(\sqrt{2}, \sqrt{8})$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] 2, obwohl jeweils [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] wie auch [mm] $\sqrt{8}$ [/mm] Minimalpolynome von Grad 2 haben!
Sprich: das Ergebnis stimmt, die Begruendung nicht!
> kann jemand überprüfen ,ob ich hier recht habe?:
> für i ist das min.polynom :(x-ia)(x+ia) mit grad 2
Nein, das ist kein Minimalpolynom von $i$, und auch keins von $i a$ (obwohl es das als Nullstelle hat; die Koeffizienten sind naemlich nicht in [mm] $\IQ$, [/mm] sondern in [mm] $\IQ(i)$).
[/mm]
> für [mm]\wurzel{2}[/mm] ist das min.polynom :(x-a)(x+a) mit grad
> 2
Nein. [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] ist keine Nullstelle von $(x - a) (x + a)$, da $a [mm] \neq \sqrt{2} \neq [/mm] -a$.
LG Felix
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