glm. und punktweise Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:01 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo,
ich habe mal wieder eine Frage an euch.........
Es geht um glm. und punktweise Konvergenz.
die Aufgabe lautet: [mm] f_{n} : [0,1] \rightarrow \IR, \quad f_{n} = \max \{ n - n^2 \left|x^2 - \bruch{1}{n} \right|,0\} [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] f_{n} [/mm] punktweise, aber nicht glm. gegen 0 konvergiert.
Ich habe zwar die beiden Definitionen vor mir liegen, aber ich konnte mit den [mm] \varepsilon [/mm] und N Beweisen noch nie richtig umgehen.
Möchte mir hier jemand unter die Arme greifen. Ich will das nämlich endlich mal richtig nachvollziehen können :)
Viele Grüße,
Samoth
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Hallo!
Bei der punktweisen Konvergenz suchst du dir immer einen Punkt [mm] $x_0$ [/mm] und zeigst, dass [mm] $f(x_0)\to [/mm] 0$. In diesem Fall genügt es zu zeigen, dass es für jedes [mm] $x_0$ [/mm] ein $n$ gibt, so dass [mm] $n-n^2\left|x^2_0-\bruch{1}{n}\right|\le [/mm] 0$. Eigentlich braucht dazu nur [mm] $x\ge\sqrt{\bruch{2}{n}}$ [/mm] zu gelten...
Bei der gleichmäßigen Konvergenz hingegen reicht es nicht aus, einen Punkt zu betrachten, wir schauen uns das ganz Intervall an. Du müsstest eigentlich zeigen, dass es immer ein $n$ gibt, so dass alle $f(x)$ nahe genug an 0 sind. Es müssen also die Maxima gegen 0 konvergieren. Wenn du also für jedes $n$ ein [mm] $x_n$ [/mm] findest, so dass [mm] $f(x_n)\not\to [/mm] 0$, dann hast du's schon geschafft!
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
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