glm. Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Fr 24.03.2006 | | Autor: | snowda |
Hallo,
bin soeben auf ein Definitionsproblem gestoßen, so denke ich. Kann mir jemand weiterhelfen?
Also: f sei nicht glm. stetig auf (a,b) = I. D.h. [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0, so dass [mm] \forall \delta [/mm] > 0 gilt: [mm] \vmat{ x- y } [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow \vmat{f(x)-f(y)} \ge \varepsilon, [/mm] x,y [mm] \in [/mm] I.
f sei auf [a,b] = J aber stetig, also glm. stetig. D.h. zu jedem [mm] \varepsilon' [/mm] > 0 [mm] \exists \delta' [/mm] mit [mm] \vmat{f(x)-f(y)} [/mm] < [mm] \varepsilon' \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] J mit [mm] \vmat{x-y} [/mm] < [mm] \delta'.
[/mm]
Setze also [mm] \varepsilon' [/mm] := [mm] \varepsilon [/mm] und sei x,y [mm] \in [/mm] I [mm] \subset [/mm] J, mit [mm] \vmat{x-y} [/mm] < [mm] \delta' \Rightarrow \vmat{f(x)-f(y)} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] =>Widerspruch,
oder was is da los?
Gruß,
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Fr 24.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> Also: f sei nicht glm. stetig auf (a,b) = I. D.h. [mm]\exists \varepsilon[/mm]
> > 0, so dass [mm]\forall \delta[/mm] > 0 gilt: [mm]\vmat{ x- y }[/mm] <
> [mm]\delta \Rightarrow \vmat{f(x)-f(y)} \ge \varepsilon,[/mm] x,y
> [mm]\in[/mm] I.
Obacht: nicht für alle x, y mit der Eigenschaft gilt dies, es gbit blos min. 2, für die dies gilt.
> f sei auf [a,b] = J aber stetig, also glm. stetig. D.h. zu
> jedem [mm]\varepsilon'[/mm] > 0 [mm]\exists \delta'[/mm] mit
> [mm]\vmat{f(x)-f(y)}[/mm] < [mm]\varepsilon' \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] J mit
> [mm]\vmat{x-y}[/mm] < [mm]\delta'.[/mm]
Wenn es das gleiche f wie oben ist, geht das nicht. f ist gd. glm stetig auf [m](a,b)[/m], wenn f auf [m][a,b][/m] stetig fortgesetzt werdne kann.
> Setze also [mm]\varepsilon'[/mm] := [mm]\varepsilon[/mm] und sei x,y [mm]\in[/mm] I
> [mm]\subset[/mm] J, mit [mm]\vmat{x-y}[/mm] < [mm]\delta' \Rightarrow \vmat{f(x)-f(y)}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm] =>Widerspruch,
> oder was is da los?
Widerpsruch zu was? Deinf kann nicht beides sein, also Widerpsruch dazu?!?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Fr 24.03.2006 | | Autor: | snowda |
Hi SEcki,
ok, danke erst mal. Hätt ich mir ja eigentlich denken können, also aus f glm. stetig auf [a,b] folgt ja glm. stetig auf (a,b).
Dann muss die Negation von glm. Stetigkeit also lauten:
[mm]\exists \varepsilon[/mm] > 0, so dass [mm]\forall \delta[/mm] > 0 gilt: [mm] \exists [/mm] x, y [mm] \in [/mm] I mit [mm]\vmat{ x- y }[/mm] < [mm]\delta \Rightarrow \vmat{f(x)-f(y)} \ge \varepsilon,[/mm].
Nur hab' ich dann ein Problem mit einem Beweis (Stetigkeit auf kompaktem Interval => glm. Stetikeit). Und zwar wird da angenommen, dass f auf I nicht glm. stetig ist und daraus folgt, dass es sogar ganze Folgen [mm] x_{n}, x_{n}' [/mm] geben muss, mit [mm] \vmat{x_{n}-x_{n}'} [/mm] < [mm] \delta [/mm] UND [mm] \vmat{f(x_{n})-f(x_{n}')} [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Und das kommt mir dann spanisch vor, wenn aus nicht-glm. Stetigkeit grade mal 2 Ausnahmewerte zwingend sind.
Gruß,
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Sa 25.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> Nur hab' ich dann ein Problem mit einem Beweis (Stetigkeit
> auf kompaktem Interval => glm. Stetikeit). Und zwar wird da
> angenommen, dass f auf I nicht glm. stetig ist und daraus
> folgt, dass es sogar ganze Folgen [mm]x_{n}, x_{n}'[/mm] geben muss,
> mit [mm]\vmat{x_{n}-x_{n}'}[/mm] < [mm]\delta[/mm] UND
> [mm]\vmat{f(x_{n})-f(x_{n}')}[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
Nicht ganz - dein [m]\delta[/m] ist nicht beliebig, hier werden knokrete Zahlen eingesetzt, nämlich [m]\frac{1}{n}[/m].
> Und das kommt mir dann spanisch vor, wenn aus nicht-glm.
> Stetigkeit grade mal 2 Ausnahmewerte zwingend sind.
Für beliebiges [m]\delta[/m] gibt es 2 Ausnahmewerte, jetzt setzt du aber konkrete Werte ein. (Natürlich gibt es blos a priori 2 Ausnahmewerte - denn sonst nimm eine [m]\delta[/m] das halb so groß ist wie der Abstand der ursprünglichen Punkte, dann gibt es wieder 2 Ausnahmewerte, die aber natürlich auch für das größere [m]\delta[/m] gelten.)
SEcki
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