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Hallo,
folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie [mm] f_n [/mm] : I [mm] \to \IR [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
[mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \frac{sin(kx)}{k^2}, [/mm] I = [mm] \IR
[/mm]
Okay. Habe mir das Ganze mal für k = 1, ..., 9 zeichnen lassen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie man sieht nähern sich die Partialfunktionen immer mehr f(x) = 0 an. Nun möchte ich die gleichmäßige Konvergent auf ganz I mittels dem Konvergenzkriterium von Weierstraß nachweisen.
Zur Wiederholung - dieser besagt:
[mm] \summe_{}^{} g_k [/mm] konvergiert auf D genau dann gleichmäßig, falls: [mm] \summe_{}^{} sup\{|g_k(x)|; x \in D\} [/mm] = [mm] \summe_{}^{} ||g_k||_{\infty} [/mm] konvergiert. Das ist insbesondere dann der Fall, falls, [mm] \summe_{}^{} g_k [/mm] eine konvergente Zahlenreihe als gleichmäßige Majorante besitzt.
Übertragen auf die Aufgabe bedeutet das doch, dass ich einfach nur eine konvergente Zahlenreihe finden muss, die immer größer als [mm] f_n(x) [/mm] ist. Oder?
[mm] \summe_{k=1}^{n} \frac{sin(kx)}{k^2} \le \summe_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} [/mm] und [mm] \frac{1}{k^2} [/mm] ist eine konvergente harmoniche Reihe. Daraus folgt die gleichmäßige Konvergenz auf ganz I.
Richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> folgende Aufgabe:
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> Untersuchen Sie [mm]f_n[/mm] : I [mm]\to \IR[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] auf
> punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
>
> [mm]f_n(x)[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \frac{sin(kx)}{k^2},[/mm] I = [mm]\IR[/mm]
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> Okay. Habe mir das Ganze mal für k = 1, ..., 9 zeichnen
> lassen:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Wie man sieht nähern sich die Partialfunktionen immer mehr
> f(x) = 0 an. Nun möchte ich die gleichmäßige Konvergent auf
> ganz I mittels dem Konvergenzkriterium von Weierstraß
> nachweisen.
>
> Zur Wiederholung - dieser besagt:
>
> [mm]\summe_{}^{} g_k[/mm] konvergiert auf D genau dann gleichmäßig,
> falls: [mm]\summe_{}^{} sup\{|g_k(x)|; x \in D\}[/mm] = [mm]\summe_{}^{} ||g_k||_{\infty}[/mm]
> konvergiert.
was ist denn dabei $D$? Darf dort auch [mm] $D=\IR$ [/mm] stehen (ich weiß das gerade nicht mehr so genau, daher die Nachfrage).
> Das ist insbesondere dann der Fall, falls,
> [mm]\summe_{}^{} g_k[/mm] eine konvergente Zahlenreihe als
> gleichmäßige Majorante besitzt.
>
> Übertragen auf die Aufgabe bedeutet das doch, dass ich
> einfach nur eine konvergente Zahlenreihe finden muss, die
> immer größer als [mm]f_n(x)[/mm] ist. Oder?
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \frac{sin(kx)}{k^2} \le \summe_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}[/mm]
> und [mm]\frac{1}{k^2}[/mm] ist eine konvergente harmoniche Reihe.
> Daraus folgt die gleichmäßige Konvergenz auf ganz I.
>
> Richtig?
Ja. Wenn mich nicht alles täuscht, brauchst Du hier auch den obigen Satz gar nicht wirklich (wenngleich ich hier sicher nur den Beweisteil der einen Richtung benutze):
Für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\left|\frac{\sin(kx)}{k^2}\right|\le \frac{1}{k^2}$
[/mm]
Daher:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so wähle (unter Beachtung der Konvergenz von [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$) [/mm] ein [mm] $N=N_\varepsilon$, [/mm] so dass
[mm] $\sum_{k=N}^{\infty} \frac{1}{k^2} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
Mit [mm] $f(x):=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{\sin(kx)}{k^2}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(kx)}{k^2}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$)
[/mm]
ist $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine wohldefinierte Funktion, da [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ [/mm] eine konvergente Majorante für [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(kx)}{k^2}$ [/mm] ist und die letzte Reihe daher punktweise (absolut) konvergiert.
Nun gilt für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ und $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $\left|f(x)-\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(kx)}{k^2}\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{k^2}\right| \le \sum_{k=n+1}^{\infty} \left|\frac{\sin(kx)}{k^2}\right| \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^2} \le \sum_{k=N}^\infty \frac{1}{k^2} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Insbesondere folgt:
[mm] $\sup\left\{\left|f(x)-\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(kx)}{k^2}\right|: x \in \IR\right\} \le \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$, d.h.
[mm] $\sup\left\{\left|f(x)-\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(kx)}{k^2}\right|: x \in \IR\right\} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Es kann aber, wie gesagt, sein, dass das im Prinzip nichts anderes ist wie der Beweisteil der einen Richtung Deines obigen Satzes, wenn man ihn für diese Reihe "konkreter" machen wollte.
Also:
Ich denke, das sollte bei Dir schon alles in Ordnung sein. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Fr 25.04.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Danke dir.
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