glm.Konvergenz Fkt-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Konvergiert diese Funktionenfolge punktweise oder gleichmäßig:
[mm] f_n: \IR\rightarrow\IR: f_n(x)=\frac{x}{1+n|x|} [/mm] |
Punktweise konvergiert diese Fkt-Folge natürlich gegen 0. Gleichmäßige Konvergenz bekomme ich aber nicht hin. Ich bin mir eigentlich sicher, dass es nicht gleichmäßig konvergieren kann, da mein Definitionsbereich ganz [mm] \IR [/mm] ist und dann ist ja eigentlich unmöglich, dass diese Folge gleichmäßig konvergiert, da ich ja auch mein x beliebig groß wählen und darum immer ein "Ausreißer-x" finden kann. Nur finde ich es einfach nicht :( die "klassischen" wie x=n oder [mm] x=\frac{1}{n} [/mm] versagen leider. Andererseits schaffe ich es aber auch nicht, gleichmäßige Konvergenz zu zeigen.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Konvergiert diese Funktionenfolge punktweise oder
> gleichmäßig:
>
>
> [mm]f_n: \IR\rightarrow\IR: f_n(x)=\frac{x}{1+n|x|}[/mm]
> Punktweise
> konvergiert diese Fkt-Folge natürlich gegen 0.
> Gleichmäßige Konvergenz bekomme ich aber nicht hin. Ich
> bin mir eigentlich sicher, dass es nicht gleichmäßig
> konvergieren kann, da mein Definitionsbereich ganz [mm]\IR[/mm] ist
> und dann ist ja eigentlich unmöglich, dass diese Folge
> gleichmäßig konvergiert,
Doch, sie konvergiert gleichmäßig !
Du hast die, zunächst nur für x [mm] \ne [/mm] 0 gültige, Abschätzung:
[mm] $|f_n(x)| =\frac{|x|}{1+n|x|} \le \frac{|x|}{n|x|} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] $
Aber die Ungl. [mm] $|f_n(x)| \le \frac{1}{n} [/mm] $ gilt trivialerweise aich für x=0.
Somit:
[mm] $|f_n(x)| \le \frac{1}{n} [/mm] $ für alle reellen x.
FRED
> da ich ja auch mein x beliebig
> groß wählen und darum immer ein "Ausreißer-x" finden
> kann. Nur finde ich es einfach nicht :( die "klassischen"
> wie x=n oder [mm]x=\frac{1}{n}[/mm] versagen leider. Andererseits
> schaffe ich es aber auch nicht, gleichmäßige Konvergenz
> zu zeigen.
> Kann mir jemand einen Tipp geben?
|
|
|
|
