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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - gleichung lösen
gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Mi 23.11.2011
Autor: Josy847

hallo,

mathe schafft mich mal wieder ich hoffe sehr das mir jemand helfen kann.

ich soll [mm] z^3=8i [/mm]  berechnen leider versteh ich nicht wirklich wie ich das angehen soll es wäre super wenn mir jemand an so einer ähnlichen aufgebe einen rechenweg zeigen kann nur die formel bringt mich leider nicht weiter. vielen vielen dank an alle die mir versuchen zu helfen.

        
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gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Mi 23.11.2011
Autor: Steffi21

Hallo, der Einstieg für dich z=a+bi

[mm] (a+bi)^{3}=8i [/mm]

löse die Klammer auf

Steffi

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gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Mi 23.11.2011
Autor: Josy847

dieser weg soll wohl nicht vorteilhaft sein und ich wüsste auch nicht was davon a und was b ist. :-( aber dank dir trotzdem

Bezug
                        
Bezug
gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Mi 23.11.2011
Autor: leduart

Hallo
schreib deine zahl als [mm] r*e^{i\phi+n*2\pi} [/mm]
und zieh dann die wurzel aus den beiden teilen.
Gruss leduart

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Bezug
gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Fr 25.11.2011
Autor: Josy847

hallo,

danke für eure hilfe ich komme bei der aufgabe [mm] z^3=8i [/mm] auf folgende lösung.

w=0,1,2

zk= [mm] \wurzel[n]{3i} e^i\bruch{\pi+2\pi*k}{3} [/mm] =
[mm] 2e^i(\bruch{\pi}{4}\bruch{\pi}{2}) [/mm]

z0= 2i(cos [mm] \bruch{\pi}{3}+isin \bruch{\pi}{3}) [/mm] = [mm] 1i+i\wurzel{3} [/mm]

z1= 2i(cos [mm] 1\pi [/mm] +i sin [mm] 1\pi) [/mm] =-2i+0

z2= 2i(cos [mm] \bruch{5}{3}\pi [/mm] + i sin [mm] \bruch{5}{3}\pi) [/mm] = [mm] 1i+(-\wurzel{3}) [/mm]


ich hoffe es ist richtung sonst bitte ich um hilfe :-)

dann versuche ich grade [mm] z^4= -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] i zu lösen und habe überhaupt keine idee wie ich mit den brüchen verfahren soll bitte um hilfe.

und noch eine aufgabe haber da habe ich immerhin eine idee.
aufgabe [mm] z+2\overline{z} [/mm] = 5+iz

ich habe da erstmal z und z betrag aufgelöst (z=a+bi) und [mm] (\overline{z}=a-bi) [/mm]

komme so auf:

(a+bi)+2(a-bi)= 5a+bi*(a+bi)
(a+bi)+2a-2bi = [mm] 5a+abi+bi^2 [/mm]  -> [mm] bi^2=-1a [/mm]
        3a-bi = 5a+a*bi -1a
        ab hier bin ich sehr unsicher
        3a-bi = 4a+a*bi  | /bi
  [mm] \bruch{3a-bi}{bi} [/mm] = 4a+a
  [mm] \bruch{3a-bi}{bi} *\bruch{-bi}{-bi} [/mm] = 5a
  [mm] \bruch{(3a-bi)*bi}{a} [/mm] = 5a
  [mm] \bruch{3abi-bi^2}{a} [/mm] = 5a
  [mm] \bruch{3abi+a}{a} [/mm] = 5a    

da 3a eine einfache reale zahl ist die ich mit einer imaginären zahl multipliziere mache ich einfach aus
3abi =3bi darf ich das???
würde denn weiter machen mit:
  [mm] \bruch{3bi+a}{a} [/mm] = 5a
  [mm] \bruch{3}{a}i +\bruch{a}{a} [/mm] =5a
[mm] \bruch{3}{a} [/mm] i + 1a  =5a  |-1a
[mm] \bruch{3}{a} [/mm] i      =4a

ich hoffe ich habe nicht ganz sobiele mathe regeln verletzt

und freue mich sehr über hilfe.

danke und für alle ein schönes we



        

Bezug
                                        
Bezug
gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Fr 25.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Josy847,


> hallo,
>  
> danke für eure hilfe ich komme bei der aufgabe [mm]z^3=8i[/mm] auf
> folgende lösung.
>  
> w=0,1,2
>  
> zk= [mm]\wurzel[n]{3i} e^i\bruch{\pi+2\pi*k}{3}[/mm] =
>   [mm]2e^i(\bruch{\pi}{4}\bruch{\pi}{2})[/mm]
>  
> z0= 2i(cos [mm]\bruch{\pi}{3}+isin \bruch{\pi}{3})[/mm] =
> [mm]1i+i\wurzel{3}[/mm]
>  
> z1= 2i(cos [mm]1\pi[/mm] +i sin [mm]1\pi)[/mm] =-2i+0
>  
> z2= 2i(cos [mm]\bruch{5}{3}\pi[/mm] + i sin [mm]\bruch{5}{3}\pi)[/mm] =
> [mm]1i+(-\wurzel{3})[/mm]
>  
>
> ich hoffe es ist richtung sonst bitte ich um hilfe :-)
>  


Ja, die Lösungen sind richtig.

Gemeint war zunächst:

[mm]z^{3}=8i=8*e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]

Daraus ergibt sich dann:

[mm]z_{k}=\wurzel[3]{8}*e^{i*\bruch{\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}{3}}, \ k=0,1,2[/mm]



> dann versuche ich grade [mm]z^4= -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> i zu lösen und habe überhaupt keine idee wie ich mit den
> brüchen verfahren soll bitte um hilfe.

>


Schreibe die komplexe Zahl  in dieser Form:

[mm]-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}=r*e^{i*\phi}[/mm]

,wobei [mm]r, \ \phi \in \IR[/mm]


> und noch eine aufgabe haber da habe ich immerhin eine
> idee.
>  aufgabe [mm]z+2\overline{z}[/mm] = 5+iz
>  
> ich habe da erstmal z und z betrag aufgelöst (z=a+bi) und
> [mm](\overline{z}=a-bi)[/mm]
>  
> komme so auf:
>  
> (a+bi)+2(a-bi)= 5a+bi*(a+bi)


Hier muss doch stehen:

[mm](a+bi)+2(a-bi)= 5a+\blue{i}*(a+bi)[/mm]


>  (a+bi)+2a-2bi = [mm]5a+abi+bi^2[/mm]  -> [mm]bi^2=-1a[/mm]

>          3a-bi = 5a+a*bi -1a
>          ab hier bin ich sehr unsicher
>          3a-bi = 4a+a*bi  | /bi
>    [mm]\bruch{3a-bi}{bi}[/mm] = 4a+a
>    [mm]\bruch{3a-bi}{bi} *\bruch{-bi}{-bi}[/mm] = 5a
>    [mm]\bruch{(3a-bi)*bi}{a}[/mm] = 5a
>    [mm]\bruch{3abi-bi^2}{a}[/mm] = 5a
>    [mm]\bruch{3abi+a}{a}[/mm] = 5a    
>
> da 3a eine einfache reale zahl ist die ich mit einer
> imaginären zahl multipliziere mache ich einfach aus
> 3abi =3bi darf ich das???
>  würde denn weiter machen mit:
>    [mm]\bruch{3bi+a}{a}[/mm] = 5a
>    [mm]\bruch{3}{a}i +\bruch{a}{a}[/mm] =5a
>   [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i + 1a  =5a  |-1a
>   [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i      =4a
>  
> ich hoffe ich habe nicht ganz sobiele mathe regeln
> verletzt
>  
> und freue mich sehr über hilfe.
>  
> danke und für alle ein schönes we
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Fr 25.11.2011
Autor: Josy847


> Hallo Josy847,
>  
>
> > hallo,
>  >  
> > danke für eure hilfe ich komme bei der aufgabe [mm]z^3=8i[/mm] auf
> > folgende lösung.
>  >  
> > w=0,1,2
>  >  
> > zk= [mm]\wurzel[n]{3i} e^i\bruch{\pi+2\pi*k}{3}[/mm] =
>  >   [mm]2e^i(\bruch{\pi}{4}\bruch{\pi}{2})[/mm]
>  >  
> > z0= 2i(cos [mm]\bruch{\pi}{3}+isin \bruch{\pi}{3})[/mm] =
> > [mm]1i+i\wurzel{3}[/mm]
>  >  
> > z1= 2i(cos [mm]1\pi[/mm] +i sin [mm]1\pi)[/mm] =-2i+0
>  >  
> > z2= 2i(cos [mm]\bruch{5}{3}\pi[/mm] + i sin [mm]\bruch{5}{3}\pi)[/mm] =
> > [mm]1i+(-\wurzel{3})[/mm]
>  >  
> >
> > ich hoffe es ist richtung sonst bitte ich um hilfe :-)
>  >  
>
>
> Ja, die Lösungen sind richtig.
>  
> Gemeint war zunächst:
>  
> [mm]z^{3}=8i=8*e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>  
> Daraus ergibt sich dann:
>  
> [mm]z_{k}=\wurzel[3]{8}*e^{i*\bruch{\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}{3}}, \ k=0,1,2[/mm]
>  
>
>
> > dann versuche ich grade [mm]z^4= -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> > i zu lösen und habe überhaupt keine idee wie ich mit den
> > brüchen verfahren soll bitte um hilfe.
>  >
>  
>
> Schreibe die komplexe Zahl  in dieser Form:
>  
> [mm]-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}=r*e^{i*\phi}[/mm]
>  
> ,wobei [mm]r, \ \phi \in \IR[/mm]
>  
>
> > und noch eine aufgabe haber da habe ich immerhin eine
> > idee.
>  >  aufgabe [mm]z+2\overline{z}[/mm] = 5+iz
>  >  
> > ich habe da erstmal z und z betrag aufgelöst (z=a+bi) und
> > [mm](\overline{z}=a-bi)[/mm]
>  >  
> > komme so auf:
>  >  
> > (a+bi)+2(a-bi)= 5a+bi*(a+bi)
>  
>
> Hier muss doch stehen:
>  
> [mm](a+bi)+2(a-bi)= 5a+\blue{i}*(a+bi)[/mm]
>   wie verfahre ich denn mit dem i und muss dann 5a nicht auch nur 5 sein? ist denn ai auch eine komplexe zahl bin jetzt total verwirrt!
>
> >  (a+bi)+2a-2bi = [mm]5a+abi+bi^2[/mm]  -> [mm]bi^2=-1a[/mm]

>  >          3a-bi = 5a+a*bi -1a
>  >          ab hier bin ich sehr unsicher
>  >          3a-bi = 4a+a*bi  | /bi
>  >    [mm]\bruch{3a-bi}{bi}[/mm] = 4a+a
>  >    [mm]\bruch{3a-bi}{bi} *\bruch{-bi}{-bi}[/mm] = 5a
>  >    [mm]\bruch{(3a-bi)*bi}{a}[/mm] = 5a
>  >    [mm]\bruch{3abi-bi^2}{a}[/mm] = 5a
>  >    [mm]\bruch{3abi+a}{a}[/mm] = 5a    
> >
> > da 3a eine einfache reale zahl ist die ich mit einer
> > imaginären zahl multipliziere mache ich einfach aus
> > 3abi =3bi darf ich das???
>  >  würde denn weiter machen mit:
>  >    [mm]\bruch{3bi+a}{a}[/mm] = 5a
>  >    [mm]\bruch{3}{a}i +\bruch{a}{a}[/mm] =5a
>  >   [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i + 1a  =5a  |-1a
>  >   [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i      =4a
>  >  
> > ich hoffe ich habe nicht ganz sobiele mathe regeln
> > verletzt
>  >  
> > und freue mich sehr über hilfe.
>  >  
> > danke und für alle ein schönes we
>  >  
>
>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
                                                        
Bezug
gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Fr 25.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Josy547,
  

> >
> > > und noch eine aufgabe haber da habe ich immerhin eine
> > > idee.
>  >  >  aufgabe [mm]z+2\overline{z}[/mm] = 5+iz
>  >  >  
> > > ich habe da erstmal z und z betrag aufgelöst (z=a+bi) und
> > > [mm](\overline{z}=a-bi)[/mm]
>  >  >  
> > > komme so auf:
>  >  >  
> > > (a+bi)+2(a-bi)= 5a+bi*(a+bi)
>  >  
> >
> > Hier muss doch stehen:
>  >  
> > [mm](a+bi)+2(a-bi)= 5a+\blue{i}*(a+bi)[/mm]
>  >  wie verfahre ich
> denn mit dem i und muss dann 5a nicht auch nur 5 sein? ist
> denn ai auch eine komplexe zahl bin jetzt total verwirrt!


Nein.

Multipliziere den 2. Summanden aus
und berücksichtige daß [mm]i^{2}=-1[/mm] ist.


>  >

> > >  (a+bi)+2a-2bi = [mm]5a+abi+bi^2[/mm]  -> [mm]bi^2=-1a[/mm]

>  >  >          3a-bi = 5a+a*bi -1a
>  >  >          ab hier bin ich sehr unsicher
>  >  >          3a-bi = 4a+a*bi  | /bi
>  >  >    [mm]\bruch{3a-bi}{bi}[/mm] = 4a+a
>  >  >    [mm]\bruch{3a-bi}{bi} *\bruch{-bi}{-bi}[/mm] = 5a
>  >  >    [mm]\bruch{(3a-bi)*bi}{a}[/mm] = 5a
>  >  >    [mm]\bruch{3abi-bi^2}{a}[/mm] = 5a
>  >  >    [mm]\bruch{3abi+a}{a}[/mm] = 5a    
> > >
> > > da 3a eine einfache reale zahl ist die ich mit einer
> > > imaginären zahl multipliziere mache ich einfach aus
> > > 3abi =3bi darf ich das???
>  >  >  würde denn weiter machen mit:
>  >  >    [mm]\bruch{3bi+a}{a}[/mm] = 5a
>  >  >    [mm]\bruch{3}{a}i +\bruch{a}{a}[/mm] =5a
>  >  >   [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i + 1a  =5a  |-1a
>  >  >   [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i      =4a
>  >  >  
> > > ich hoffe ich habe nicht ganz sobiele mathe regeln
> > > verletzt
>  >  >  
> > > und freue mich sehr über hilfe.
>  >  >  
> > > danke und für alle ein schönes we
>  >  >  
> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 Fr 25.11.2011
Autor: Josy847

aber das habe ich doch bei [mm] bi^2 [/mm] auch gemacht oder habe ich es mal übersehen?

Bezug
                                                                        
Bezug
gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Fr 25.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Josy547,

> aber das habe ich doch bei [mm]bi^2[/mm] auch gemacht oder habe ich
> es mal übersehen?


Es ist [mm]bi^{2}=-b[/mm] und nicht -a.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Fr 25.11.2011
Autor: Josy847

aber [mm] i^2 [/mm] ist doch -1 und deswegeb bei mir -a ????

Bezug
                                                                                        
Bezug
gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Fr 25.11.2011
Autor: abakus


> aber [mm]i^2[/mm] ist doch -1 und deswegeb bei mir -a ????

Lies die Antwort von MathePower noch mal ganz langsam und sinniere über den Unterschied von "b" und "a"...
Gruß Abakus


Bezug
                                                                                
Bezug
gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Fr 25.11.2011
Autor: Josy847

ok ich hoffe ich habs jetzt :

würde auf

3a-1bi  =5a+ai-b kommen
und es dann aufteilen in

z1 = 2a+ai  ?
z2 = -b +bi  ???

ist das so richtig??? oder vergesse ich schon wieder was.

und ein riesen dankeschön für eure großartige hilfe ihr seit super :-)

Bezug
                                                                                        
Bezug
gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Fr 25.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Josy547,

> ok ich hoffe ich habs jetzt :
>  
> würde auf
>
> 3a-1bi  =5a+ai-b kommen
>  und es dann aufteilen in
>
> z1 = 2a+ai  ?
>  z2 = -b +bi  ???
>  
> ist das so richtig??? oder vergesse ich schon wieder was.
>  


Um a und b zu bestimmen, ist diese Gleichung
in Real- und Imaginärteil aufzuteilen.


> und ein riesen dankeschön für eure großartige hilfe ihr
> seit super :-)


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Fr 25.11.2011
Autor: Josy847


> Hallo Josy847,
>  
>
> > hallo,
>  >  
> > danke für eure hilfe ich komme bei der aufgabe [mm]z^3=8i[/mm] auf
> > folgende lösung.
>  >  
> > w=0,1,2
>  >  
> > zk= [mm]\wurzel[n]{3i} e^i\bruch{\pi+2\pi*k}{3}[/mm] =
>  >   [mm]2e^i(\bruch{\pi}{4}\bruch{\pi}{2})[/mm]
>  >  
> > z0= 2i(cos [mm]\bruch{\pi}{3}+isin \bruch{\pi}{3})[/mm] =
> > [mm]1i+i\wurzel{3}[/mm]
>  >  
> > z1= 2i(cos [mm]1\pi[/mm] +i sin [mm]1\pi)[/mm] =-2i+0
>  >  
> > z2= 2i(cos [mm]\bruch{5}{3}\pi[/mm] + i sin [mm]\bruch{5}{3}\pi)[/mm] =
> > [mm]1i+(-\wurzel{3})[/mm]
>  >  
> >
> > ich hoffe es ist richtung sonst bitte ich um hilfe :-)
>  >  
>
>
> Ja, die Lösungen sind richtig.
>  
> Gemeint war zunächst:
>  
> [mm]z^{3}=8i=8*e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>  
> Daraus ergibt sich dann:
>  
> [mm]z_{k}=\wurzel[3]{8}*e^{i*\bruch{\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}{3}}, \ k=0,1,2[/mm]
>  
>
>
> > dann versuche ich grade [mm]z^4= -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] i [green]das i war verrutscht[/green
> >  zu lösen und habe überhaupt keine idee wie ich mit den

> > brüchen verfahren soll bitte um hilfe.
>  >
>  
>
> Schreibe die komplexe Zahl  in dieser Form:
>  
> [mm]-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}=r*e^{i*\phi}[/mm]
>  
> ,wobei [mm]r, \ \phi \in \IR[/mm]

das hilft mir igendwie noch nicht so ganz weiter muss ich denn die 4te wurzel sovohl vom re teil als auch dem im teil ziehen und dann mit beides weiter rechnen und da wo oben wo 2(cos ...) kommt dann statt der zwei 1/2+ wurzel 3 usw und dann ausklammern oder wie mach ich das????

>  
>
> > und noch eine aufgabe haber da habe ich immerhin eine
> > idee.
>  >  aufgabe [mm]z+2\overline{z}[/mm] = 5+iz
>  >  
> > ich habe da erstmal z und z betrag aufgelöst (z=a+bi) und
> > [mm](\overline{z}=a-bi)[/mm]
>  >  
> > komme so auf:
>  >  
> > (a+bi)+2(a-bi)= 5a+bi*(a+bi)
>  
>
> Hier muss doch stehen:
>  
> [mm](a+bi)+2(a-bi)= 5a+\blue{i}*(a+bi)[/mm]
>  
>
> >  (a+bi)+2a-2bi = [mm]5a+abi+bi^2[/mm]  -> [mm]bi^2=-1a[/mm]

>  >          3a-bi = 5a+a*bi -1a
>  >          ab hier bin ich sehr unsicher
>  >          3a-bi = 4a+a*bi  | /bi
>  >    [mm]\bruch{3a-bi}{bi}[/mm] = 4a+a
>  >    [mm]\bruch{3a-bi}{bi} *\bruch{-bi}{-bi}[/mm] = 5a
>  >    [mm]\bruch{(3a-bi)*bi}{a}[/mm] = 5a
>  >    [mm]\bruch{3abi-bi^2}{a}[/mm] = 5a
>  >    [mm]\bruch{3abi+a}{a}[/mm] = 5a    
> >
> > da 3a eine einfache reale zahl ist die ich mit einer
> > imaginären zahl multipliziere mache ich einfach aus
> > 3abi =3bi darf ich das???
>  >  würde denn weiter machen mit:
>  >    [mm]\bruch{3bi+a}{a}[/mm] = 5a
>  >    [mm]\bruch{3}{a}i +\bruch{a}{a}[/mm] =5a
>  >   [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i + 1a  =5a  |-1a
>  >   [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i      =4a
>  >  
> > ich hoffe ich habe nicht ganz sobiele mathe regeln
> > verletzt
>  >  
> > und freue mich sehr über hilfe.
>  >  
> > danke und für alle ein schönes we
>  >  
>
>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
                                                        
Bezug
gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Fr 25.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Josy547,

> > > dann versuche ich grade [mm]z^4= -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> i das i war verrutscht[/green
> > >  zu lösen und habe überhaupt keine idee wie ich mit

> den
> > > brüchen verfahren soll bitte um hilfe.
> >  >

> >  

> >
> > Schreibe die komplexe Zahl  in dieser Form:
> >  

> > [mm]-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}=r*e^{i*\phi}[/mm]
> >  

> > ,wobei [mm]r, \ \phi \in \IR[/mm]
> das hilft mir igendwie noch
> nicht so ganz weiter muss ich denn die 4te wurzel sovohl
> vom re teil als auch dem im teil ziehen und dann mit beides
> weiter rechnen und da wo oben wo 2(cos ...) kommt dann
> statt der zwei 1/2+ wurzel 3 usw und dann ausklammern oder
> wie mach ich das????


Zunächst ist

[mm]z^{4}=-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i=r*e^{i\phi}[/mm]

Dann ist

[mm]z_{k}=\wurzel[4]{r}*e^{i*\bruch{\phi+2*k*\pi}{4}},\ k=0,1,2,3[/mm]

bzw.

[mm]z_{k}=\wurzel[4]{r}*\left( \ \cos\left(\ \bruch{\phi+2*k*\pi}{4} \ \right)+i*\sin\left(\ \bruch{\phi+2*k*\pi}{4} \ \right) \ \right), \ k=0,1,2,3[/mm]


Gruss
MathePower

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