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Forum "Funktionalanalysis" - gleichmäßige konvergenz zeigen
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gleichmäßige konvergenz zeigen: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Sa 17.04.2010
Autor: den9ts

Aufgabe
Man zeige für
[mm] f_{n}(x) =(1+x/n)^n [/mm]

dass die Funktionenfolgen [mm] {f_n} [/mm] und {f'_{n}} gleichmäßig auf [-1; 1] konvergieren.

hi also ich hab angefangen mit
[mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = 1 (weil [mm] (1+x/n)^n [/mm] =1 fuer n->ue)

sodass ich jetz zeigen muss dass
[mm] |f_{n}(x)-1|\le\varepsilon [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] |(1+x/n)^n|\le\varepsilon+1 [/mm]
und jetz weiß ich nich weiter..
ich denk ma ich soll nach n umstellen aber bin nach rumprobieren nicht wirklich weiter gekommen, waer also nett wenn mir jemand sagen koennte was ich an der stelle tun muss, danke

weiterhin muss ich ja zeigen, dass

[mm] |f'_{n}(x)-f'(x)|\le\varepsilon [/mm] mit [mm] f'(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} (n+x)^{n-1}=\infty [/mm]

sodass ich dann [mm] |f'_{n}(x)-\infty|\le\varepsilon [/mm] hab;
[mm] |(n+x)^{n-1}-\infty|\le\varepsilon [/mm]
muss ich das jetzt auch nach n umstellen.. wenn ja wie? ;s
weil eigentlich is die gleichung fuer n [mm] \in \IN [/mm] trivial, or?

tyy

hab die frage nirgends anders gestellt ;p

        
Bezug
gleichmäßige konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Sa 17.04.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Man zeige für
>  [mm]f_{n}(x) =(1+x/n)^n[/mm]
>  
> dass die Funktionenfolgen [mm]{f_n}[/mm] und {f'_{n}} gleichmäßig
> auf [-1; 1] konvergieren.
>  hi also ich hab angefangen mit
>  [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] = 1 (weil [mm](1+x/n)^n[/mm] =1 fuer n->ue)

Das ist falsch. Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt

[mm](1+x/n)^n \ge 1+x [/mm],

daher kann der Grenzwert nicht kleiner als $1+x$ sein.

Tatsächlich ist

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) = e^x [/mm] .

Tipp: für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz, musst du zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $n_0$ [/mm] finden, das nicht von x abhängt. Überlegt dir mal, ob du ein [mm] $x_0$ [/mm] angeben kannst, sodass

[mm] | f(x) -f_n(x) | \le | f(x_0) -f_n(x_0) | [/mm]

ist.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
gleichmäßige konvergenz zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 So 18.04.2010
Autor: den9ts

brauch ich dazu die supremumsnorm?

Bezug
                        
Bezug
gleichmäßige konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:56 So 18.04.2010
Autor: leduart

Hallo
warum nicht einfach den Betrag?
Gruss leduart

Bezug
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