gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Di 08.01.2013 | | Autor: | steff34 |
| Aufgabe | Ist die Funktion gleichmäßig stetig?
g: R+0--R (von den positiven reellen Zahlen mit Null in die reellen Zahlen)
g [mm] (x):=\wurzel{1+x^{4}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann ich das mit dem Satz von Heine zeigen?
Da die positiven reellen Zahlen mit Null kein kompakter Intervall sind, ist es auch nicht gleichmäßig stetig?
Oder wie kann ich es sonst zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 08.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Ist die Funktion gleichmäßig stetig?
>
> g: R+0--R (von den positiven reellen Zahlen mit Null in die
> reellen Zahlen)
>
> g [mm](x):=\wurzel{1+x^{4}}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Kann ich das mit dem Satz von Heine zeigen?
>
> Da die positiven reellen Zahlen mit Null kein kompakter
> Intervall sind, ist es auch nicht gleichmäßig stetig?
Das wäre die Umkehrung des Satzes: Ist $f$ stetig auf einem Kompaktum, so ist $f$ auch gleichmäßig stetig. Dies gilt aber im allgemeinen nicht. Ein Gegenbeispiel fällt Dir bestimmt ein.
>
> Oder wie kann ich es sonst zeigen?
Zeige, $g'(x) [mm] \to \infty$ [/mm] für [mm] $x\to \infty$ [/mm] und wende den Mittelwertsatz an.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 08.01.2013 | | Autor: | steff34 |
| Aufgabe | | MWS haben wir noch nicht gemacht. |
Danke, MWS haben wir noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es ist ja [mm] $g(x)=\sqrt{1+x^4}\,,$ [/mm] und Du willst zeigen, dass diese Funktion
nicht gleichmäßig stetig ist.
Zu zeigen ist also: Es existiert ein [mm] $\varepsilon_0$ [/mm] so, dass gilt:
Zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ existierten o.E. $0 [mm] \le x_\delta [/mm] < [mm] y_\delta$
[/mm]
derart, dass [mm] $|x_\delta-y_\delta|=y_\delta-x_\delta [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt, aber (bea.: [mm] $g\,$ [/mm] ist (streng)
monoton wachsend)
[mm] $$|g(x_\delta)-g(y_\delta)|=g(y_\delta)-g(x_\delta) \ge \varepsilon_0\,.$$
[/mm]
Offenbar gilt für [mm] $\red{1}\, \le [/mm] x < y$
[mm] $$\sqrt{1+y^4}-\sqrt{1+x^4}=\frac{y^4-x^4}{\sqrt{1+y^4}+\sqrt{1+x^4}} \red{\;\ge\;} \frac{y^4-x^4}{2y^2+2x^2}=\frac{1}{2}*(y^2-x^2)\,.$$
[/mm]
Was bringt das? Nun, prinzipiell ist es so, dass $t [mm] \mapsto t^2$ [/mm] (etwa auf [mm] $[0,\infty)$)
[/mm]
eben nicht glm. stetig ist. (Betrachte dazu etwa [mm] $x_n:=n$ [/mm] und
[mm] $y_n:=x_n+\tfrac{1}{n}=n+\tfrac{1}{n}\,.$ [/mm] (Man könnte auch, mit einem $k [mm] \in \IN\,,$ [/mm] etwa [mm] $x_n:=n^k$ [/mm]
und dann [mm] $y_n:=x_n+\tfrac{1}{n}=n^k+\tfrac{1}{n}$ [/mm] betrachten.))
Anders gesagt: Wir haben die Nicht-glm. Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] auf die
Nicht-glm. Stetigkeit von $t [mm] \mapsto t^2$ [/mm] (auf [mm] $[0,\infty)$) [/mm] zurückgeführt.
P.S. Vor allem das [mm] $\red{\ge}$ [/mm] oben sollte von Dir noch begründet werden!
Gruß,
Marcel
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