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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Di 25.10.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei f differenzierbar im offenen Intervall (a,b) und sei f' beschränkt. Beweisen Sie, dass dann f gleichmäßig stetig auf (a,b) ist. |
Hallo,
ich sitze grad an dem Beweis und komme an einer Stelle nicht mehr weiter.
Da f differenzierbar ist, existiert der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] für [mm] x_{0} [/mm] in (a,b).
Da jede differenzierbare Funktion auch stetig ist, folgt ebenfalls, dass f stetig auf (a,b) ist.
Weiterhin ist f' beschränkt, d.h. es existiert eine Konstante C [mm] \in \IR [/mm] mit C>0 derart, dass |f'(x)| [mm] \le [/mm] C.
Zu zeigen ist nun, dass f gleichmäßig stetig ist, d.h.: Für alle [mm] \varepsilon [/mm] exist. ein [mm] \delta=\delta(\varepsilon) [/mm] derart, dassfür alle x gilt: |f(y)-f(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle y mit |x-y| < [mm] \delta.
[/mm]
Also sei ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 gegeben. Es gilt ja [mm] f'(x)=\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] für [mm] x_{0} [/mm] und [mm] |\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] für [mm] x_{0}| [/mm] < C.
Dann wähle ich [mm] \varepsilon=C.
[/mm]
Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Wie komme ich jetzt an das [mm] \delta [/mm] ran?
Vielen Dank
lg
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Grober Fahrplan sollte doch sein:
f differenzierbar und f' beschränkt => lipschitz stetig => gleichmäßig stetig
lipschitz stetig => gleichmäßig stetig
[mm]|f(x)-f(y)|\leq L |x-y|[/mm]
> Zu vorgegebenem $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ wähle $ [mm] \delta=\bruch{\varepsilon}{L}. [/mm] $
Dann [mm]|x-y|\leq \delta [/mm] und somit ...
f differenzierbar und f' beschränkt => lipschitz stetig
- Mittelwertsatz anwenden
- Beträge dran malen
- Beschränktheit ausnutzen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo wiescho,
vielen Dank für deine Hilfe.
> Grober Fahrplan sollte doch sein:
>
> f differenzierbar und f' beschränkt => lipschitz stetig =>
> gleichmäßig stetig
>
> lipschitz stetig => gleichmäßig stetig
> [mm]|f(x)-f(y)|\leq L |x-y|[/mm] wähle [mm]\varepsilon = \frac{L}{\delta}[/mm].
> Dann [mm]|x-y|\leq \delta[/mm] und somit ...
Ich wähle also [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \frac{L}{\delta}. [/mm] Dann gilt |f(x)-f(y)| [mm] \le \varepsilon*\delta*|x-y| \le \bruch{L^{2}}{\varepsilon}.
[/mm]
Wie krieg ich denn das L in der Abschätzung weg? Die Ungleichung muss ja kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] sein.
>
> f differenzierbar und f' beschränkt => lipschitz stetig
> - Mittelwertsatz anwenden
> - Beträge dran malen
> - Beschränktheit ausnutzen
Ok, das hab ich hingekriegt.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo wiescho,
>
> vielen Dank für deine Hilfe.
>
> > Grober Fahrplan sollte doch sein:
> >
> > f differenzierbar und f' beschränkt => lipschitz stetig =>
> > gleichmäßig stetig
> >
> > lipschitz stetig => gleichmäßig stetig
> > [mm]|f(x)-f(y)|\leq L |x-y|[/mm] wähle [mm]\varepsilon = \frac{L}{\delta}[/mm].
> > Dann [mm]|x-y|\leq \delta[/mm] und somit ...
>
> Ich wähle also [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\frac{L}{\delta}.[/mm] Dann gilt
> |f(x)-f(y)| [mm]\le \varepsilon*\delta*|x-y| \le \bruch{L^{2}}{\varepsilon}.[/mm]
>
> Wie krieg ich denn das L in der Abschätzung weg? Die
> Ungleichung muss ja kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] sein.
Wiescho hat sich vertan. Zu vorgegebenem [mm] \varepsilon>0 [/mm] wähle [mm] \delta=\bruch{\varepsilon}{L}.
[/mm]
Probiers damit nochmal.
FRED
> >
> > f differenzierbar und f' beschränkt => lipschitz stetig
> > - Mittelwertsatz anwenden
> > - Beträge dran malen
> > - Beschränktheit ausnutzen
>
> Ok, das hab ich hingekriegt.
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Mi 26.10.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ja sorry. Ich habs korrigiert.
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