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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Do 11.10.2007 | | Autor: | Savoyen |
| Aufgabe | | Sei [mm] -\infty
Aber [mm] \br{1}{x} [/mm] auf (0,1) nicht gleichmäßig stetig. |
Hallo liebe Matheraum-Mitglieder.
Ich verstehe den Satz: "Sei [mm] -\infty
[mm] \epsilon [/mm] = 1, [mm] \delta [/mm] > 0
Wähle n mit [mm] \delta [/mm] > [mm] \frac{1}{n(n+1)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] ]0, [mm] \frac{1}{n+1}[ [/mm] mit:
Es gilt zwar [mm] |y-\frac{1}{n}|<\delta, [/mm]
aber der Widerspruch ist bei
|g(y) - [mm] g(\frac{1}{n}) [/mm] | > (n+1)-n = 1 = [mm] \epsilon
[/mm]
jetzt ist g also nicht gleichmäßig stetig.
Was sagt mir dann aber der Satz aus der Aufgabe? Liegt es einzig und allein an [a,b]? Hier habe ich ja (a,b) bzw (0,1). Das ist das einzigste, was mir noch als Widerspruch einfallen würde. Weil die Funktion g bildet ja nach [mm] \IR [/mm] ab. Ich sehe nicht, warum der Satz hier nicht greift.
Freue mich auf gute Antworten
Tschüss
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]-\infty
> ist f sogar gleichmäßig stetig.
> Aber [mm]\br{1}{x}[/mm] auf (0,1) nicht gleichmäßig stetig.
> Ich verstehe den Satz: "Sei [mm]-\infty
> [mm]f:[a,b]\to \IR[/mm] sei stetig. Dann ist f sogar gleichmäßig
> stetig." nicht richtig. Ich interpretiere es so, dass alle
> Funktionen gleichmäßig stetig auf dem Defbereich sind. Der
> Satz stammt aus unserer Vorlesung und ich weiß ehrlich
> gesagt nicht, was f eigentlich ist.
Hallo,
f ist eine beliebige stetige Funktion, welche vom abgeschlossenen Intervall [a,b] nach [mm] \IR [/mm] geht.
Vom abgeschlossenen Intervall [a,b]!!!
Das ist der Knackpunkt und der Witz und die Aussage dieses Satze: stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen [a,b] sind gleichmäßig stetig.
Und genau bei der Abgeschlossenheit der Intervalls liegt der Unterschied zur Funktion g(x)=[mm]\br{1}{x}[/mm] auf (0,1) .
(0,1) ist nicht abgeschlossen!
> denn wie ich herausgefunden habe, ist [mm]\br{1}{x}[/mm] nicht
> gleichmäßig stetig. Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium dürfte
> der Beweis in etwa so aussehen
Angenommen, [mm] g(x)=\br{1}{x} [/mm] wäre glm stetig.
Zu
> [mm]\epsilon[/mm] = 1,
gäbe es dann ein
[mm]\delta[/mm] > 0,
So daß für alle x,y mit [mm] |x-y|<\delta [/mm] |f(x)-f(y)<1 gilt.
Zu [mm] \delta [/mm] findet man ein
> Wähle n mit [mm]\delta[/mm] > [mm]\frac{1}{n(n+1)}[/mm]
Betrachte nun [mm] x=\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] xy=\bruch{1}{n+1}.
[/mm]
> Es gilt zwar
[mm] |x-y|=|\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}|=\frac{1}{n(n+1)}<\delta,
[/mm]
>
> aber
es ist [mm] |f(\bruch{1}{n})-f(\bruch{1}{n+1}=
[/mm]
>
> (n+1)-n = 1 = [mm]\epsilon[/mm], also [mm] \not<\varepsilon.
[/mm]
Also
> ist g also nicht gleichmäßig stetig.
Etwas hübscher wär's noch, in dieser Aufgabe z.B. [mm] \varepsilon =\bruch{1}{2} [/mm] zu nehmen. Alles andere bleibt.
>
> Was sagt mir dann aber der Satz aus der Aufgabe? Liegt es
> einzig und allein an [a,b]? Hier habe ich ja (a,b) bzw
> (0,1).
Genau.
Gruß v. Angela
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