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gleichmäßige Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 So 26.08.2012
Autor: paula_88

Aufgabe
[mm] f_{n}(x)=\bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}} [/mm]
Zu zeigen ist a) dass [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] auf [mm] \IR_{\ge 0} [/mm] nicht gleichmäßig konvergiert und b) dass [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] auf [mm] [a,\infty[ [/mm] gleichmäßig konvergiert, mit a>0.

Hallo an alle,
Aufgabe a) habe ich über die Supremumsnorm gelöst:

Das Maximum von [mm] f_{n}(x) [/mm] ist [mm] x=\bruch{1}{n} \Rightarrow f_{n}(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{2}; [/mm] der GW von  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}-0\not=0, [/mm] somit erfüllt die Supremumsnorm nicht die Bedingungen der gleichmäßigen Konvergenz.

Meine Frage ist nun, ist Aufgabe a) richtig gelöst, da ich nicht bewusst auf den Definitionsbereich von [mm] \IR_{\ge 0} [/mm] geachtet habe.

Kann ich Aufgabe b) auch anhand der Supremumsnorm lösen? Tipps bitte :-)
Ist der einzige Unterschied zwischen Aufgabe a) und b) wirklich nur das Intervall [mm] [a,\infty[, [/mm] wobei bei a) [mm] a\ge [/mm] 0 und b) a>0 ist?

Ich hoffe dass meine Verwirrung bzw. Unwissenheit verständlich geworden ist, vielleicht hat ja jemand Lust mir das genauer zu erläutern :-)
Vielen Dank und liebe Grüße
        
Bezug
gleichmäßige Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 So 26.08.2012
Autor: hippias

Deine Idee ist richtig, ich finde aber, die Begruendung wirkt unklar. Mein Vorschlag: Die Folge konvergiert punktweise gegen $0$. Wenn die Folge also gleichmaessig konvergiert, dann gleichmaessig gegen $0$. Nun gilt aber fuer [mm] $\frac{1}{n}\in \IR_{>0}$, [/mm] dass [mm] $f_{n}(\frac{1}{n})= \frac{1}{2}$. [/mm] Also ist [mm] $\sup |f_{n}|\geq \frac{1}{2}$ [/mm] fuer alle [mm] $n\in \IN$, [/mm] weshalb [mm] $f_{n}$ [/mm] bezueglich der Supremumnorm keine Nullfolge ist.

Zu b): Ja, dass $a>0$ ist entscheidend. Vielleicht erkennst an meinem Vorschlag, weshalb.
Bezug
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