gleichmäßige Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mo 22.08.2005 | | Autor: | ninna |
Hallo zuammen,
ich sitze hier vor den Konvergenzaufgaben und brauche wohl einen kleinen Anstups:
Die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] (x) = [mm] n^2 x^n [/mm] (1-x) für x [mm] \in [/mm] [0,1] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
So: Für die punktweise Konvergenz habe ich x=0 und x=1 eingesetzt und anschließend den Limes gebildet. Da kommt dann für x=0 : lim [mm] n^2= \infty [/mm] raus und bei x=1: lim0=0. Ich hoffe, dass ich da nicht ganz auf dem Holzweg bin.
Bei der gleichmäßigen Konverngenz stehe ich nun ganz auf dem Schlauch.
Die Definition sagt ja: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0, [/mm] s.d. [mm] \left| f_n (x) - F (x) \right| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Ich habe aber doch gar keine Funktion f (x).
Oben kam ja einmal der Limes [mm] \infty [/mm] und einmal der Limes 1 raus. Das ist ja keine Funktion.
Wie komme ich also an das f(x), oder bin ich ganz auf dem falschen Weg?
Danke für die Hilfe!
Eure Ninna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Mo 22.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
also wenn Du bei der punktweisen Konvergenz 0 einsetzt, steht da doch
[mm] f_{n}(0) [/mm] = [mm] n^{2}* 0^{n}*(1-0) [/mm] = 0
Da muss also auch 0 rauskommen, nicht [mm] \infty
[/mm]
Der grundlegende Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz ist, dass man bei pktweiser Konv. für jedes x "einzeln" untersucht, ob der Betrag der Funktionen kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist, während bei der glm. Konv. der Betrag der Funktionen FÜR ALLE x (gleichzeitig) kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] sein muss.
Du hast keine Funktion f(x) gegeben, das ist richtig. Das Kriterium ist eigentlich auch mehr zur Überprüfung da, wenn Du eine Funktion f hast. Du musst also erst überlegen, welches f in Frage kommen könnte, und dann den Beweis mit diesem f führen.
LG djmatey
|
|
|
| |
|
Hi Ninna,
Für die punktweise Konvergenz habe ich x=0 und x=1 eingesetzt und anschließend den Limes gebildet. Da kommt dann für x=0 : lim raus und bei x=1: lim0=0. Ich hoffe, dass ich da nicht ganz auf dem Holzweg bin.
Dir ist da ein Fehler unterlaufen, denn der limes fn(x) = 0, das kommt weil du das (1-x) am Ende ausgelassen hast, das wird für x=1 ja 0, bzw kommt nah an die 0 ran.
Für die glm Konvergenz mußt du dann |fn(x) -f(x) | wobei f(x) der punktweise Limes ist,
hier heißt das, daß du |fn(x) | abschätzen mußt, wenn du das kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] bekommst hast du die gleichmäßige Konvergenz. Wenn du die (1-x) ausmultiplizierst erhälst du | [mm] n²x^{n} [/mm] - [mm] n²x^{n+1}| [/mm] mit etwas probieren bekommst du dann die gleichmäßige Konvergenz.
Wären tatsächlich verschiedenen punktweise Limiten vorhanden, wäre die Funktion in jedem Fall nicht gleichmäßig konvergent
Viel Erfolg
Britta
|
|
|
|
