gleichmäßige Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Dummy86 |
| Aufgabe | Man untersuche folgende Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige
Konvergenz, bestimme ggf. die Grenzfunktion und untersuche diese auf Stetigkeit:
a)
[mm] f_{n} [/mm] : [mm] \IR \to \IR, f_{n} [/mm] (X)= [mm] \bruch{1}{1 + nx^2} [/mm] ( n [mm] \in \IN)
[/mm]
b)
[mm] g_{n} [/mm] : [mm] \IR \to \IR, g_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x^2 + x + n}{n + x^2} [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
|
Meine Frage ist wie komme ich auf die punktweise Konvergenz, bei der gleichmäßigen arbeite ich ja mit der Supremumsnorm, und wie erhalte ich überhaupt die Frenzfunktion?
kann mir dass mal einer zeigen bzw an nem beispiel erklären?
gruß dummy86
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Sa 27.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo dummy
1. punktweise Konvergenz:
fuer jedes feste x=r [mm] \ne0 [/mm] konvergiert bei a) [mm] f_n [/mm] gegen 0
Du kannst zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_0 [/mm] angeben, ab dem [mm] |f_n|<\varepsilon!
[/mm]
fuer x=0 gegen 1 also ist die Grenzfkt unstetig, also NICHT gl. konv.
Was du mit deiner Bemerkung ueber SupremumNorm schreibst ist mir voellig unklar! warum ist das leichter?
zub) Z und N durch n dividieren, dann wieder fuer alle festen x auch x=0 [mm] f_n [/mm] gegen1, Grenzfunktion stetig.
um gl. Konv zu beweisen musst du ein von x unabh. N finden, sodass [mm] |f_n-1|<\varepsilon [/mm] fuer alls [mm] n>N_0.
[/mm]
das geht hier.
Gruss leduart
|
|
|
|
