gleichmäßig konvergent < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Primel |
| Aufgabe | seien [mm] f_n,f:D\to\IC [/mm] holomorph,
[mm] f_n(z)=\summe_{k=0}^{\infty}a_k^{n}z^{k},
[/mm]
[mm] f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}a_k z^{k}
[/mm]
Zeige: konvergiert [mm] f_n \to [/mm] f lokal gleichmäßig,
dann [mm] a_k^{n}\to a_k (n\to\infty) [/mm] für alle k.
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Hallo,
also wenn eine Funktion gleichmäßig konvergiert, dann so gilt:
[mm] sup|\summe_{n=o}^{n} f_n(z)- f(z)|<\varepsilon.
[/mm]
Wie kann ich das jetzt auf [mm] a_k [/mm] beziehen?
Was ist mit der Umkehrung? Gilt das eigentlich auch?
Danke schonmal für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Fr 19.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Konvergenzsatz von Weierstraß
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Sa 20.06.2009 | | Autor: | mona85 |
Der KOnvergenzsatz von Weierstrass besagt ja, dass
Sei [mm] G\subset\IC [/mm] ein Gebiet. [mm] (f_n) n\in \IN [/mm] Folge holomorpher Funktionen [mm] f_n: [/mm] G [mm] \to \IC, [/mm] die auf G lokal gleichmäßig gegen eine Funktion f:G [mm] \to \IC [/mm] konvergiert. Das heißt, zu jedem z [mm] \in [/mm] G gibt es eine Umgebung U [mm] \subset [/mm] G von z, so dass [mm] f_n [/mm] auf U gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann gilt:
f ist holomorph und für jedes k [mm] \in \IN_0 [/mm] konvergiert [mm] (f_n ^k)_n\in \IN [/mm] auf G lokal gleichmäßig gegen [mm] f^k
[/mm]
Wie hilft mir das denn für die Aufgabe?
wir wissen ja schon, dass f holomorph ist; also nützt uns die Folgerung ja nichts, oder?
Und die andere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Sa 20.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Der KOnvergenzsatz von Weierstrass besagt ja, dass
>
> Sei [mm]G\subset\IC[/mm] ein Gebiet. [mm](f_n) n\in \IN[/mm] Folge
> holomorpher Funktionen [mm]f_n:[/mm] G [mm]\to \IC,[/mm] die auf G lokal
> gleichmäßig gegen eine Funktion f:G [mm]\to \IC[/mm] konvergiert.
> Das heißt, zu jedem z [mm]\in[/mm] G gibt es eine Umgebung U [mm]\subset[/mm]
> G von z, so dass [mm]f_n[/mm] auf U gleichmäßig gegen f konvergiert.
> Dann gilt:
> f ist holomorph und für jedes k [mm]\in \IN_0[/mm] konvergiert [mm](f_n ^k)_n\in \IN[/mm]
> auf G lokal gleichmäßig gegen [mm]f^k[/mm]
>
> Wie hilft mir das denn für die Aufgabe?
> wir wissen ja schon, dass f holomorph ist; also nützt uns
> die Folgerung ja nichts, oder?
> Und die andere?
Was haben denn die Koeffizienten der Taylorreihen mit den Ableitungen zu tun?
Viele Grüße
Rainer
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