gleichm.stetig in norm. Räumen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein normierter Raum und W ein Banachraum.
Sei T: V [mm] \rightarrow [/mm] W eine stetige lineare Abb.
zz.: T ist gleichmäßig stetig. |
Hallo, dies oben bleibt mir für eine Aufgabe noch zu zeigen.
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0
Seien x,y [mm] \in [/mm] V
Setzte [mm] \delta [/mm] := (ja das weiss ich ja noch nicht ;) )
Gelte ||x-y|| < [mm] \delta
[/mm]
Dann gilt:
Meine erste Idee die Dreiecksungleichung:
||T(x)-T(y)|| [mm] \le [/mm] ||T(x)||+||T(y)|| weil T stetig linear ist ex. ein C [mm] \ge [/mm] 0 mit ||T(x)|| [mm] \le [/mm] C||x||.
Also ||T(x)||+||T(y)|| [mm] \le [/mm] C(||x||+||y||)
Dies kann ich ja aber nicht weiter abschätzen, denn ich habe ja nur zur verfügung, dass ||x-y|| < [mm] \delta [/mm] gilt.
Bin ich mit diesen Umformungen schon auf dem richtigen Weg, muss ich nur tiefgründiger werden oder, sollte ich lieber mit Folgen und so arbeiten?
Gruß, carlos
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Hallo!
> Sei V ein normierter Raum und W ein Banachraum.
> Sei T: V [mm]\rightarrow[/mm] W eine stetige lineare Abb.
>
> zz.: T ist gleichmäßig stetig.
> Hallo, dies oben bleibt mir für eine Aufgabe noch zu
> zeigen.
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> Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0
> Seien x,y [mm]\in[/mm] V
> Setzte [mm]\delta[/mm] := (ja das weiss ich ja noch nicht ;) )
>
> Gelte ||x-y|| < [mm]\delta[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> Meine erste Idee die Dreiecksungleichung:
> ||T(x)-T(y)|| [mm]\le[/mm] ||T(x)||+||T(y)|| weil T stetig linear
> ist ex. ein C [mm]\ge[/mm] 0 mit ||T(x)|| [mm]\le[/mm] C||x||.
Ich bin zwar auf dem Gebiet nicht bewandert, aber "linear" bedeutet doch, dass $T(x)-T(y) = T(x-y)$ ist, oder?
Dann schreibe
$||T(x)-T(y)|| = ||T(x-y)|| [mm] \le [/mm] C*||x-y|| < [mm] C*\delta$,
[/mm]
also wähle [mm] $\delta [/mm] = [mm] \varepsilon/C$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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ehm, ja.
Irgendwie bitter, dass ich da nicht selber drauf komme :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Do 17.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Stefan hat das nötige schon gesagt, dennoch 2 Bemerkungen.
1. T ist sogar Lipschitzstetig
2. Wozu muß W ein Banachraum sein ? Ein normierter Raum tuts auch ! (Frag mal den Aufgabensteller)
FRED
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