gleichm. stetigk. von sqrt(x) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gleichmäßige Stetigkeit von [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] |
Tach,
die Stetigkeit ist klar! Aber was ist der Trick, ein global wählbares [mm] $\delta$ [/mm] zu ermitteln? Da ist eine allgemeine obere Abschätzung doch gar nicht möglich!
Dankesehr!
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Hallo Stefan,
> Gleichmäßige Stetigkeit von [mm]\sqrt{x}[/mm] auf [mm](0,\infty)[/mm]
> Tach,
>
> die Stetigkeit ist klar! Aber was ist der Trick, ein global
> wählbares [mm]\delta[/mm] zu ermitteln? Da ist eine allgemeine
> obere Abschätzung doch gar nicht möglich!
Hmm, betrachte mal $|f(x)-f(a)|$ für ein bel. $a>0$
Das ist [mm] $=|\sqrt{x}-\sqrt{a}|=\left|\frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\right|=\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|} [/mm] \ \ [mm] (\star)$
[/mm]
Nun schaue dir [mm] $|\sqrt{x}+\sqrt{a}|$ [/mm] näher an:
[mm] $...=\sqrt{x}+\sqrt{a}=|\sqrt{x}|+|\sqrt{a}|\ge|\sqrt{x}-\sqrt{a}|$ [/mm] nach Dreiecksungleichung:
[mm] $|\alpha-\beta|\le|\alpha|+|\beta|$
[/mm]
Damit nun [mm] $(\star) [/mm] \ \ [mm] \le\frac{|x-a|}{|\sqrt{x-a}|}$
[/mm]
Nun kommst du sicher schnell auf dein gesuchtes [mm] $\delta$ [/mm] ...
>
> Dankesehr!
Gerne
LG
schachuzipus
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Hm, doch gar nicht so schwierig. Auf den letzten Schritt bin ich nicht gekommen. Merci!
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Frag mich gerade noch, warum klar ist, dass [mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\ge|\sqrt{x-a}|$, [/mm] was du im letzten Schritt benutzt hast.
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Hallo nochmal,
> Frag mich gerade noch, warum klar ist, dass
> [mm]|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\ge|\sqrt{x-a}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, was du im letzten
> Schritt benutzt hast.
Ich habe die Betragstriche falsch gesetzt, sorry, es sollte lauten:
$\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}\le ... \le \frac{|x-a|}{\sqrt{\red{|}x-a\red{|}}$
Dass die Ungleichung $|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\le\sqrt{|x-a|}$ gilt, kannst du dir mit einer Fallunterscheidung überlegen:
1.Fall: $a>x$
Dann zeige $\sqrt{a}-\sqrt{x}\le\sqrt{a-x}$
Quadriere beide Seiten (die sind ja positiv), dann hast du's
$x>a$ analog
Lieben Gruß
schachuzipus
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Hi nochmal,
ich sehe gerade, dass ich in der letzten Abschätzung einen Dreher drin habe?!
Oder bin ich zu müde? Zu schlecht? Zu blind?
Anderer Ansatz, der funktionieren sollte:
Schaue [mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{a}|$ [/mm] an und zeige:
[mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\le\sqrt{|x-a|}$
[/mm]
Dazu mache die oben erwähnte Fallunterscheidung und quadriere ...
Dann kommst du auch schnell auf das [mm] $\delta$
[/mm]
Vergiss erstmal die andere Abschätzung aus der 1.Antwort oder flicke sie.
Ich seh's im Moment nicht ...
LG
schachuzipus
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