gleichm. stetig -->Cauchyfolge < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe 1 | | Es seien (X,d) und (X',d') metrische Räume und f : X [mm] \to [/mm] X' gleichmäßig stetig. Es sei weiterhin [mm] (x_{n})_{n} \subset [/mm] X eine Cauchy-Folge. Zeigen Sie, dass dann auch [mm] (f(x_{n}))_{n} [/mm] eine Cauchy-Folge ist. Gilt diese Aussage auch noch, falls f lediglich stetig ist? |
| Aufgabe 2 | | Es sei f : (0,1] [mm] \to \IR [/mm] stetig. Zeigen Sie, dass f genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn [mm] lim_{x \to 0, x>0} [/mm] f(x) existiert. |
zu Aufgabe 1)
Ich muss ja zeigen, dass alle Teilfolgen von [mm] (f(x_{n}))_{n} [/mm] konvergieren (Definition der Cauchy-Folge). Wie ich das aber machen soll und was mir dabei die gleichmäßige Stetigkeit sagt, ist mir unklar.
zu Aufgabe 2)
f ist im Intervall (0,1] angeblich genau dann gleichmäßig stetig, wenn f(x) konvergiert. Meine Intuition sagt mir, dass diese Aussage falsch ist, kann ich das mit einem Gegenbeispiel widerlegen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Di 09.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien (X,d) und (X',d') metrische Räume und f : X [mm]\to[/mm] X'
> gleichmäßig stetig. Es sei weiterhin [mm](x_{n})_{n} \subset[/mm] X
> eine Cauchy-Folge. Zeigen Sie, dass dann auch
> [mm](f(x_{n}))_{n}[/mm] eine Cauchy-Folge ist. Gilt diese Aussage
> auch noch, falls f lediglich stetig ist?
> Es sei f : (0,1] [mm]\to \IR[/mm] stetig. Zeigen Sie, dass f genau
> dann gleichmäßig stetig ist, wenn [mm]lim_{x \to 0, x>0}[/mm] f(x)
> existiert.
> zu Aufgabe 1)
>
> Ich muss ja zeigen, dass alle Teilfolgen von [mm](f(x_{n}))_{n}[/mm]
> konvergieren (Definition der Cauchy-Folge).
Ich bezweifle sehr stark, dass dies die Definition einer Cauchy-Folge ist bei euch.
> Wie ich das
> aber machen soll und was mir dabei die gleichmäßige
> Stetigkeit sagt, ist mir unklar.
Schnapp dir eine Funktion wie in Aufgabe 2), und betrachte eine Folge in $(0, 1]$ die in $[0, 1]$ gegen 0 konvergiert.
> zu Aufgabe 2)
>
> f ist im Intervall (0,1] angeblich genau dann gleichmäßig
> stetig, wenn f(x) konvergiert. Meine Intuition sagt mir,
> dass diese Aussage falsch ist, kann ich das mit einem
> Gegenbeispiel widerlegen?
Deine Intuition ist dann wohl falsch.
Beachte: wenn der Grenzwert existiert, kannst du $f$ stetig auf $[0, 1]$ fortsetzen, und dieses Intervall ist kompakt.
Fuer die Rueckrichtung zeig erstmal, dass $f$ beschraenkt ist.
LG Felix
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