gleichm. Konv von Funktionsf. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Do 15.05.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionsfolge fn mit
[mm] fn(x)=(n*x)/(1+n^2*x^2) [/mm] für alle nN, x[0,1]
Zeigen sie, dass fn auf dem Intervall [a,1], mit 0<a<1 gleichm. konvergiert.
Liegt auch auf [0,1] gleichm. Konvergenz vor ? |
Hallo,
mein Ansatz sieht so aus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (n*x)/(1+n^2*x^2) [/mm] = 0
[mm] |(n*x)/(1+n^2*x^2) [/mm] - 0| = [mm] (n*x)/(1+n^2*x^2)
[/mm]
wähle xn=1/n (konvergente Nullfolge)
[mm] |(n*(1/n))/(1+n^2*(1/n)^2) [/mm] - 0| = 1/2
Nun weiß ich nicht mehr weiter denn |fn(x) - f(x)| ist nicht kleiner als ein beliebiges Epsilon. Also könnte sie nur auf einem Intervall gleichm. konvergent sein.
Wie kann ich das nachprüfen bzw. beweisen ?
DANKE
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tobus,
warum wählst du dir ein [mm] x_n?
[/mm]
Du musst doch zeigen, dass
[mm]|f_n(x) - f(x)| = |\bruch{nx}{1+(nx)^2}| < \varepsilon[/mm] für alle x (beliebig aber fest).
Da kannst du dir kein x wählen.
Um gleichmäßige Konvergenz zu zeigen müsstest du das natürlich noch so abschätzen, dass die Wahl deines n's nicht mehr von x abhängt (du das x also "wegabschätzen" kannst). Dies wird dann wohl in jedem Intervall [a,1] gehen, aber nicht mehr in [0,1]. Warum solltest du noch begründen.
Als Tip: Womit kannst du einen Bruch nach oben Abschätzen? Mach das mal, dass das x weg ist. Was fällt dir auf?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Do 15.05.2008 | | Autor: | Tobus |
ok, d.h. meine funktion muss unabhängig zu meinem x sein,
also mache ich mal eine abschätzung:
|fn(x)-f(x)| = [mm] (nx)/(1+n^2*x^2) [/mm] < [mm] (n)/(1+n^2) [/mm]
wie mache ich nun weiter ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Do 15.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok, d.h. meine funktion muss unabhängig zu meinem x sein,
> also mache ich mal eine abschätzung:
>
> |fn(x)-f(x)| = [mm](nx)/(1+n^2*x^2)[/mm] < [mm](n)/(1+n^2)[/mm]
>
> wie mache ich nun weiter ?
das kannst Du so nicht abschätzen. Wichtig ist hierbei, dass $x [mm] \ge [/mm] a > 0$ immer gilt. Und wenn Du mal meine Antwort hier [mm] ($\leftarrow$ anklicken) gelesen hättest, wärst Du eigentlich schon fertig.
Wenn Du wissen willst, wie ich zu dieser Abschätzung komme:
Für alle $x \in [a,1]$ mit einem $1 \ge a > 0$ gilt:
$|f_n(x)| \le \left|\frac{n*x}{1+n^2*x^2}\right| \le \frac{n}{1+n^2*x^2} \le \frac{n}{a^2n^2}=\frac{1}{a^2}*\frac{1}{n}$
(Du siehst, dass hier $a > 0$ alleine schon deshalb wesentlich ist, damit man $\frac{1}{a^2}$ überhaupt hinschreiben kann. Das geht z.B. für $a=0$ nicht. Das impliziert aber noch nicht, dass die Funktionenfolge dann nicht glm. konvergent sein kann, denn wer sagt, dass man dann nicht ggf. eine "andere" Abschätzung findet? Und in der Tat ist die Funktionenfolge ja auch auf jedem Intervall der Art $[b,1]$ mit $-1 \le b < 0$ [b]nicht[/b] glm. konvergent (wohl aber auch punktweise). Das kannst Du Dir ja mal am Ende überlegen, warum das auch aus den Ergebnissen hier folgt.)
Das zeigt, dass die Funktionenfolge auf $[a,1]$ glm. gegen die Funktion $f$ mit $f(x)=0$ (auf $[a,1]$ definiert) konvergiert.
Es ist leicht einzusehen, dass die $f_n$ auf $[0,1]$ auch punktweise gegen die Funktion $f$ mit $f(x)=0$ (hier auf $[0,1]$ definiert) konvergiert.
Wenn die $f_n$ nun auf $[0,1]$ auch glm. konvergieren, dann kommt nur $f$ mit $f(x)=0$ (auf $[0,1]$) als Grenzfunktion in Frage (Warum?).
Die Wahl der $x_n=\frac{1}{n}$ zeigt wiederum, dass $\sup\{|f_n(x)-f(x)|: x \in [0,1]\} \ge \frac{1}{2}$. Das zeigt wiederum, dass die $f_n$ auf $[0,1]$ [b]nicht[/b] glm. gegen $f(x)=0$ (auf $[0,1]$) konvergieren können. (Warum?) Damit kann die Funktionenfolge $(f_n)_{n \in \IN}$ auf $[0,1]$ [b]nicht[/b] glm. konvergent sein.
Lass' Dir das alles ruhig nochmal durch den Kopf gehen und frage ggf. nochmal nach.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Tobus |
schonmal vielen dank für die ausführliche antwort
ich hab dazu aber noch eine kleine frage:
du hast ja für fn(x) eine abschätzung gefunden, nähmlich [mm] (1/a^2)*(1/n). [/mm] Diese ist für 0<a<1 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] konvergent gegen 0. fn(x) ist für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ebenfalls konvergent gegen 0.
also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |fn(x)-f(x)| = 0
Zeigt uns dies schon, dass die funktionsfolge gleichm. konvergent auf dem intervall [a,1] ist ?
dass sie auf dem intervall [0,1] nicht gleichm. konvergent ist habe ich verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> schonmal vielen dank für die ausführliche antwort
>
> ich hab dazu aber noch eine kleine frage:
> du hast ja für fn(x) eine abschätzung gefunden, nähmlich
> [mm](1/a^2)*(1/n).[/mm] Diese ist für 0<a<1 und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] konvergent gegen 0. fn(x) ist
> für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ebenfalls konvergent gegen
> 0.
>
> also: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |fn(x)-f(x)| = 0
> Zeigt uns dies schon, dass die funktionsfolge gleichm.
> konvergent auf dem intervall [a,1] ist ?
ja. Wenn Du es formal mit [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ sehen willst:
Zu zeigen ist:
Zu (irgendeinem) gegebenem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\varepsilon$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ und für alle $x [mm] \in [/mm] [a,1]$ gilt:
[mm] $|f_n(x)-f(x)| \le \varepsilon$ [/mm] (ob man hier nun [mm] $\le \varepsilon$ [/mm] oder $< [mm] \varepsilon$ [/mm] fordert, ist unwesentlich, ich werde jetzt auch einfach $<$ zeigen).
(Und zur Erinnerung: $f(x):=0$ auf $[a,1]$.)
Sei also [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Wir wählen ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $\frac{1}{a^2}*\frac{1}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm] (Sowas geht z.B. nach Archimedes.)
(Selbstverständlich kann man es auch konkretisieren: [mm] $N:=\left[\frac{1}{a^2}*\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$, [/mm] wobei $[.]$ die Gaußklammer bezeichne.)
(Anmerkung: Wichtig bei der konkreten Angabe des $N$ ist, dass [mm] $\frac{1}{a^2}*\frac{1}{\varepsilon} \red{>} [/mm] 0$.)
Aus der Abschätzung - die Du oben oder in dem anderen Thread nochmal nachguckst - folgt dann für alle $x [mm] \in [/mm] [a,1]$ und alle $n [mm] \in \IN_{\ge N}$:
[/mm]
[mm] $|f_n(x)|=|f_n(x)-0|=|f_n(x)-f(x)| \le \frac{1}{a^2}*\frac{1}{n} \le \frac{1}{a^2}*\frac{1}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
> dass sie auf dem intervall [0,1] nicht gleichm. konvergent
> ist habe ich verstanden.
Das ist schön 
Übrigens: Kennst Du die "Bildchen mit dem [mm] $\varepsilon$-Schlauch"? [/mm] Sowas findest Du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier (über 2.3.13 Definition)
Oder auch hier:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/inst/amm1/Mitarbeiter/Reissig/Analysis.pdf
Auf Seite 72 (interne Zählung oben links)
Das kann sehr helfen, zu verstehen, inwiefern die glm. Konvergenz einer Funktionenfolge "stärker" ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Tobus |
vielen dank für die tolle unterstützung !!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Marcel |
> vielen dank für die tolle unterstützung !!
Ist sehr gerne geschehen
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