ggt(a, ggt(b,c)) = ggt(gg(a,b) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 17.11.2007 | | Autor: | eddi2005 |
| Aufgabe | | Seien a, b, c [mm] \in \IZ. [/mm] Zeigen Sie, dass ggt(a, ggt(b,c)) = ggt(gg(a,b), c). |
Hallo.
Ich habe mir den Beweis, wie folgt überlegt:
Seien a,b,c [mm] \in \IZ.
[/mm]
Betrachte nun ggt(a, ggt(b,c)). Dann existiert ein d [mm] \in \IZ [/mm] mit d | a und (d | b und d | c).
Betrachte nun ggt(ggt(a,b),c). Dann existiert ein e [mm] \in \IZ [/mm] mit (e | a und e | b) und (e | c).
Also soll gelten
d | a und (d | b und d | c) = (e | a und d | b) und d | c
Nun dachte ich, dass ich das auf die Aussagenlogik zurückführe und damit die Aussage bereits war ist, aber das ist doch dann irgendwie ein wenig zu einfach und logisch, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien a, b, c [mm]\in \IZ.[/mm] Zeigen Sie, dass ggt(a, ggt(b,c)) =
> ggt(gg(a,b), c).
> Hallo.
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> Ich habe mir den Beweis, wie folgt überlegt:
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> Seien a,b,c [mm]\in \IZ.[/mm]
> Betrachte nun ggt(a, ggt(b,c)). Dann
> existiert ein d [mm]\in \IZ[/mm] mit d | a und (d | b und d | c).
> Betrachte nun ggt(ggt(a,b),c). Dann existiert ein e [mm]\in \IZ[/mm]
> mit (e | a und e | b) und (e | c).
> Also soll gelten
> d | a und (d | b und d | c) = (e | a und d | b) und d | c
>
> Nun dachte ich, dass ich das auf die Aussagenlogik
> zurückführe und damit die Aussage bereits war ist, aber das
> ist doch dann irgendwie ein wenig zu einfach und logisch,
> oder?
Sobald Du "exisiert ein" mit aussagenlogischen Verknüpfungen vermischst, bist Du streng genommen aus der reinen Aussagenlogik raus und machst Prädikatenlogik.
An Deiner Stelle würde ich etwa so argumentieren:
1. Beide Seiten der behaupteten Gleichung sind gemeinsame Teiler von $a, b$ und $c$ (folgt unmittelbar aus der Transitivität der Teilbarkeitsrelation: $x|y [mm] \wedge y|z\Rightarrow [/mm] x|z$).
2. Jeder gemeinsame Teiler von $a,b$ und $c$ ist auch ein Teiler der beiden Seiten der behaupteten Gleichung.
Schluss aus 1. und 2.: Beide Seiten der behaupteten Gleichung sind gleich dem grössten gemeinsamen Teiler von $a, b$ und $c$: also gilt die Behauptung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Sa 17.11.2007 | | Autor: | eddi2005 |
Hallo.
Deinen Ausführungen kann ich leider nicht so richtig folgen.
Seien a,b,c $ [mm] \in \IZ.
[/mm]
Betrachte nun ggt(a, ggt(b,c)). Dann existiert ein d [mm] \in \IZ [/mm] mit d | a und (d | b und d | c).
Betrachte nun ggt(ggt(a,b),c). Dann existiert ein e [mm] \in \IZ [/mm] mit (e | a und e | b) und (e | c).
Es soll nun also gelten d | a und d | b und d | c = e | a und e | b und e | c.
So, wie setzte ich nun aber an. Ich muss ja quasi zeigen d = e...
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> Hallo.
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> Deinen Ausführungen kann ich leider nicht so richtig
> folgen.
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> Seien a,b,c $ [mm]\in \IZ.[/mm]
> Betrachte nun ggt(a, ggt(b,c)).
> Dann existiert ein d [mm]\in \IZ[/mm] mit d | a und (d | b und d |
> c).
> Betrachte nun ggt(ggt(a,b),c). Dann existiert ein e [mm]\in \IZ[/mm]
> mit (e | a und e | b) und (e | c).
> Es soll nun also gelten d | a und d | b und d | c = e | a
> und e | b und e | c.
>
> So, wie setzte ich nun aber an. Ich muss ja quasi zeigen d
> = e...
Eben, Dein "existiert ein" ist keine allzu brilliante Idee.
Statt dessen könntest Du, wie gesagt, leicht zeigen, dass gilt [mm] $\mathrm{ggT}(\mathrm{ggT}(a,b),c)|a,b,c$ [/mm] und, genauso, [mm] $\mathrm{ggT}(a,\mathrm{ggT}(b,c))|a,b,c$ [/mm] (wobei ich mit der Schreibweise $x|a,b,c$ sagen will, dass $x|a$ und $x|b$ und $x|c$ gilt).
Diese beiden Teilaussagen folgen, wie ich geschrieben habe, aus der Transitivität der Teilbarkeitsbeziehung.
Damit wäre der von mir vorgeschlagene 1. Schritt gemacht.
Sei nun etwa $x|a,b,c$ (d.h. $x$ ein gemeinsamer Teiler von $a,b$ und $c$). Dann zeigen wir, dass sowohl [mm] $x|\mathrm{ggt}(\mathrm{ggt}(a,b),c)$ [/mm] als auch [mm] $x|\mathrm{ggt}(a,\mathrm{ggt}(b,c))$ [/mm] gilt.
Falls uns dies gelingt, haben wir gezeigt, dass [mm] $\mathrm{ggt}(\mathrm{ggt}(a,b),c)|\mathrm{ggt}(a,\mathrm{ggt}(b,c))$ [/mm] und [mm] $\mathrm{ggt}(a,\mathrm{ggt}(b,c))|\mathrm{ggt}(\mathrm{ggt}(a,b),c)$ [/mm] gilt, woraus sogleich die Behauptung [mm] $\mathrm{ggt}(a,\mathrm{ggt}(b,c))=\mathrm{ggt}(\mathrm{ggt}(a,b),c)$ [/mm] folgt.
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