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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi, ich komme bei den folgenden aufgaben nicht weiter und hoffe, dass mir da jemand helfen kann!
1) beweisen sie: für alle a, b aus N sind folgende aussagen äquivalent:
- (A) a teilt b
- (B) es gibt ein c aus N mit ggT (b,c) = a
2) beweisen sie: für alle a, b, c aus Z gilt:
- ggT (a,b) = ggT (a, b-c*a)
3) beweisen sie: für alle a, b, d aus N gilt:
- ggT (a,b) = d => ggT( ateilt d, b teilt d) =1
zur 1) habe ich folgenden ansatz, der mich leider nicht weiterbringt:
- (A) => (B): nehme c=a
- (B) => (A): der ggT von b und c teilt nach definition, sowohl b als auch c
zu der 2) aufgabe habe ich schon folgenden ansat, weiß aber nicht genau wie ich das machen soll:
- der ggT von 2 Zahlen teilt beide nach definition
- ich muß nun zeigen, dass der ggT (a,b) sowohl a (trivial) als auch (b-c*a)
teilt und umgekehrt, also ggT (a, b-c*a) teilt a und b.
zur aufgabe 3) habe ich auch einen kleinen ansatz, komme aber wie bei 2) und 1) auch nicht weiter:
- verwende ggT (a, b) =d <=> es gibt r, s aus Z mit r*a+s*b=d und d ist die kleinste Zahl > 0 mit dieser eigenschaft
hoffe es gibt dort jemanden, der mir helfen kann! Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Sa 01.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> hi, ich komme bei den folgenden aufgaben nicht weiter und
> hoffe, dass mir da jemand helfen kann!
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> 1) beweisen sie: für alle a, b aus N sind folgende aussagen
> äquivalent:
> - (A) a teilt b
> - (B) es gibt ein c aus N mit ggT (b,c) = a
>
> 2) beweisen sie: für alle a, b, c aus Z gilt:
> - ggT (a,b) = ggT (a, b-c*a)
>
> 3) beweisen sie: für alle a, b, d aus N gilt:
> - ggT (a,b) = d => ggT( ateilt d, b teilt d) =1
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> zur 1) habe ich folgenden ansatz, der mich leider nicht
> weiterbringt:
> - (A) => (B): nehme c=a
> - (B) => (A): der ggT von b und c teilt nach definition,
> sowohl b als auch c
Dann bist du ja schon fertig. Wäle c sodass ggT(b,c)=a, dann teilt ggT(b,c)=a die Zahl b.
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> zu der 2) aufgabe habe ich schon folgenden ansat, weiß aber
> nicht genau wie ich das machen soll:
> - der ggT von 2 Zahlen teilt beide nach definition
> - ich muß nun zeigen, dass der ggT (a,b) sowohl a
> (trivial) als auch (b-c*a)
> teilt und umgekehrt, also ggT (a, b-c*a) teilt a und b.
>
Da bist du auf dem richtigen Weg. Seit d=ggT(a,b) dann teilt d die Zahl a und d teilt b, und dann teilt d auch c*a trivial und deshalb auch die Differenz b-c*a. Also teilt d den ggT(a,b-c*a), denn jeder gemeinsame Teiler von a und b teilt den grössten gemeinsamen Teiler.
Sei umgekehrt d'=ggT(a,b-c*a), dann teilt d' also a und b-c*a und deshalb teilt d' die Zahl c*a (trivial) und auch die Summe (b-c*a)+c*a=b.
Also ist d' ein gemeinsamer Teiler von a und b und teilt somit ggT(a,b)=d. Die Zahlen d und d' teilen sich gegenseitig, darum sind sie gleich.
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> zur aufgabe 3) habe ich auch einen kleinen ansatz, komme
> aber wie bei 2) und 1) auch nicht weiter:
> - verwende ggT (a, b) =d <=> es gibt r, s aus Z mit
> r*a+s*b=d und d ist die kleinste Zahl > 0 mit dieser
> eigenschaft
Da ist dein Ansatz unnötig. Wenn ggT(a,b)=d, dann gibt es also Zahlen a' und b'mit a=a' *d und b= b'*d. Und jetzt wird behauptet, dass
a' und b' teilerfremd sind. Das ist aber klar, denn wäre ggT(a',b')=d'>1,
dann wäre d*d'>d Teiler sowohl von a als auch von b.
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> hoffe es gibt dort jemanden, der mir helfen kann! Danke
> schonmal
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