ggT von Polynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 So 11.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Gegeben seien [mm] $f=T^5+2T^3+T^2+2$ [/mm] und [mm] $g=T^4+T^3\in\mathbb{Q}[T]$.
[/mm]
Bestimmen Sie einen größten gemeinsamen Teiler $d$ und Elemente [mm] $x,y\in\mathbb{Q}[T]$ [/mm] mit $fx+gy=d$ |
Hi,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe und komme irgendwie auf kein schlüssiges Ergebnis. Und zwar bereitet es mir Schwierigkeiten hinterher d als "Linearkombination" dazustellen.
Den $ggT(f,g)=T+1$ findet man schnell indem man einfach f und g in irreduzible Polynome zerlegt. Das ist einfach.
Um jedoch hinterher die "Linearkombination" hinschreiben zu können muss ich den ggT wohl mit dem "euklidischen Algorithmus" bestimmen.
Daran scheitere ich jedoch. Auch wenn ich meine Ergebnisse stets überprüft habe.
Ich rechne so:
[mm] $(T^5+2T^3+T^2+2)\div (T^4+T^3)=T-1\quad\text{Rest}\, 3T^3+T^2+2$
[/mm]
Im zweiten Schritt also:
[mm] $(T^4+T^3)\div (3T^3+2T^2+2)=\frac13T+\frac19\quad\text{Rest}\, -\frac29T^2-\frac23T-\frac29$
[/mm]
Im dritten Schritt:
[mm] $(3T^3+2T^2+2)\div [/mm] ( [mm] -\frac29T^2-\frac23T-\frac29)=-\frac{27}2T+\frac{63}2\quad\text{Rest}\,18T+9$
[/mm]
Im vierten Schritt:
[mm] $(-\frac29T^2-\frac23T-\frac29)\div (18T+9)=-\frac1{81}T-\frac{5}{162}\quad\text{Rest}\, \frac1{18}
[/mm]
Im "letzten Schritt":
[mm] $(18T+9)\div\frac{1}{18}=324T+162$
[/mm]
Das kann aber nicht sein...
Am Ende sollte ja T+1 herauskommen.
Ich habe meine Rechnungen am Ende immer überprüft.
Wenn ich einen Fehler gemacht habe, dann wahrscheinlich im vierten Schritt, aber ich wüsste nicht wo.
Der euklidische Algorithmus sollte aber notwendig sein um diese Aufgabe zu lösen, das ist richtig?
Vielen Dank fürs darüberschauen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Mo 12.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben seien [mm]f=T^5+2T^3+T^2+2[/mm] und
> [mm]g=T^4+T^3\in\mathbb{Q}[T][/mm].
> Bestimmen Sie einen größten gemeinsamen Teiler [mm]d[/mm] und
> Elemente [mm]x,y\in\mathbb{Q}[T][/mm] mit [mm]fx+gy=d[/mm]
> Hi,
>
> ich bearbeite gerade diese Aufgabe und komme irgendwie auf
> kein schlüssiges Ergebnis. Und zwar bereitet es mir
> Schwierigkeiten hinterher d als "Linearkombination"
> dazustellen.
>
> Den [mm]ggT(f,g)=T+1[/mm] findet man schnell indem man einfach f und
> g in irreduzible Polynome zerlegt. Das ist einfach.
In diesem Fall vielleicht schon, im allgemeinen ist das eher schwer. Der euklidische Algorithmus ist da viel einfacher.
> Um jedoch hinterher die "Linearkombination" hinschreiben zu
> können muss ich den ggT wohl mit dem "euklidischen
> Algorithmus" bestimmen.
> Daran scheitere ich jedoch. Auch wenn ich meine Ergebnisse
> stets überprüft habe.
>
> Ich rechne so:
>
> [mm](T^5+2T^3+T^2+2)\div (T^4+T^3)=T-1\quad\text{Rest}\, 3T^3+T^2+2[/mm]
Das ist ok.
> Im zweiten Schritt also:
>
> [mm](T^4+T^3)\div (3T^3+2T^2+2)=\frac13T+\frac19\quad\text{Rest}\, -\frac29T^2-\frac23T-\frac29[/mm]
Hier hast du den falschen Quotienten genommen. Du musst durch [mm] $3T^3+T^2+2$ [/mm] teilen, und nicht durch [mm] $3T^3+2T^2+2$.
[/mm]
> Im dritten Schritt:
>
> [mm](3T^3+2T^2+2)\div ( -\frac29T^2-\frac23T-\frac29)=-\frac{27}2T+\frac{63}2\quad\text{Rest}\,18T+9[/mm]
Der Schritt ist richtig, aber du hast schon mit den falschen Polynomen angefangen...
> Im vierten Schritt:
>
> [mm]$(-\frac29T^2-\frac23T-\frac29)\div (18T+9)=-\frac1{81}T-\frac{5}{162}\quad\text{Rest}\, \frac1{18}[/mm]
Hier muss eine Konstante als Rest übrigbleiben (und zwar 0, wenn der ggT wirklich $T + 1$ ist). Aber korrigier zuerst die Schritte davor.
> Der euklidische Algorithmus sollte aber notwendig sein um
> diese Aufgabe zu lösen, das ist richtig?
Was heisst schon notwendig? :) Es geht auch immer anders. Aber der euklidische Algorithmus (bzw. Varianten davon) ist im allgemeinen die effizienteste Möglichkeit, das zu machen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mo 12.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Oh, das ist natürlich ein blöder Fehler...
[mm] $(T^4+T^3)\div (3T^3+T^2+2)=\frac13T+\frac29\quad\text{Rest}\, -\frac29T^2-\frac23T-\frac49$
[/mm]
[mm] $(3T^3+T^2+2)\div(-\frac29T^2-\frac23T-\frac49)=-\frac{27}2T+36\quad\text{Rest}\, [/mm] 18T+18$
Im nächsten Schritt fällt der Rest weg, aber ich komme auf
[mm] $(-\frac29T^2-\frac23T-\frac49)\div (18T+18)=-\frac{2}{162}(T+2)$
[/mm]
Ich weiß nicht wo der Fehler liegt, ich kontrolliere meine Rechenschritte eigentlich jedes mal...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mo 12.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh, das ist natürlich ein blöder Fehler...
>
> [mm](T^4+T^3)\div (3T^3+T^2+2)=\frac13T+\frac29\quad\text{Rest}\, -\frac29T^2-\frac23T-\frac49[/mm]
>
> [mm](3T^3+T^2+2)\div(-\frac29T^2-\frac23T-\frac49)=-\frac{27}2T+36\quad\text{Rest}\, 18T+18[/mm]
>
> Im nächsten Schritt fällt der Rest weg, aber ich komme
> auf
>
> [mm](-\frac29T^2-\frac23T-\frac49)\div (18T+18)=-\frac{2}{162}(T+2)[/mm]
Sieht doch gut aus. Damit ist $18T +18 = 18 (T + 1)$ ein ggT. Und da 18 eine Einheit ist, ist ebenso $T + 1$ ein ggT.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mo 12.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ach natürlich...
Vielen Dank. :)
Und wie kann ich nun diese "Linearkombination" aufstellen?
Dazu muss ich den Algorithmus ja "rückwärts" machen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mo 12.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ach natürlich...
>
> Vielen Dank. :)
>
> Und wie kann ich nun diese "Linearkombination" aufstellen?
> Dazu muss ich den Algorithmus ja "rückwärts" machen,
> oder?
Genau. Dazu musst du die Gleichungen, die er geliefert hast, richtig auflösen und ineinander einsetzen.
Am besten benennst du erstmal die beiden ursprünglichen Polynome sowie den ggT mit eigenen Namen ($f$, $g$, $h$), damit du sie nicht aus Versehen ausmultiplizierst oder so.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:29 Mo 12.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ok, also ich habe dann ja die vier Gleichungen:
I) [mm] $g(T-1)+3T^3+T^2+2=f$
[/mm]
II) [mm] $(3T^3+T^2+2)(\frac13T+\frac29)-\frac29T^2-\frac23T-\frac49=g$
[/mm]
III) [mm] $(-\frac29T^2-\frac23T-\frac49)(-\frac{27}2T+36)+18d=3T^3+T^2+2$
[/mm]
IV) [mm] $18d\cdot -\frac2{162}(T+2)=-\frac29T^2-\frac23T-\frac49$
[/mm]
Mit [mm] $f=T^5+2T^3+T^2+2$
[/mm]
[mm] $g=T^4+T^3$
[/mm]
$d=ggT(f,g)=T+1$
So, oder?
Wie genau meinst du nun das mit dem auflösen? Ich stelle die IV) Gleichung nach d um und setze das dann in die dritte ein. Das stelle ich nach dem
[mm] $-\frac29T^2-\frac23T-\frac49$ [/mm] um und setze dies in III) ein.
Dies stelle ich nach [mm] (3T^3+T^2+2) [/mm] um und setze es in II) ein, was ich schließlich für g in I) einsetzen kann und wäre dann fertig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 15.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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