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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Sa 11.10.2008 | | Autor: | one |
| Aufgabe | Seien [mm] z_1, [/mm] ... [mm] z_n \in \IZ, d=ggT(z_1, [/mm] ... , [mm] z_n) [/mm] , v= kgV [mm] (z_1, [/mm] ... , [mm] z_n). [/mm] Zeigen Sie:
(i) [mm] (z_1, [/mm] ... , [mm] z_n) [/mm] = (d)
(ii) [mm] (z_1) \cap (z_2) \cap [/mm] ... [mm] \cap (z_n) [/mm] = (v)
(iii) [mm] (z_1)*(z_2) [/mm] * ... * [mm] (z_n) [/mm] = [mm] (z_1 [/mm] * [mm] z_2 [/mm] * ... * [mm] z_n).
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Die Aufgabe (i) konnte ich lösen.
Doch bei den anderen beiden Aufgaben hatte ich ein wenig Mühe.
[mm] (z_i) [/mm] = [mm] {z_i * r | r \in \IZ }
[/mm]
Doch wie kann ich am besten die Schnittmengen der Erzeugnisse anders darstellen? Oder kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weiterfahren kann?
Bei (iii) habe ich an folgendes gedacht:
[mm] (z_1)*(z_2) [/mm] * ... * [mm] (z_n) [/mm] = [mm] \{z_1 * r * z_2 * r * ... * z_n* r | r \in \IZ\}
[/mm]
[mm] (z_1 [/mm] * [mm] z_2 [/mm] * ... * [mm] z_n) [/mm] = [mm] \{ (z_1 * z_2 * ... * z_n) * r | r \in \IZ\}.
[/mm]
Jetzt könnte ich irgendwie zeigen, dass diese beiden Mengen gleich sind...
Oder ist diese Idee nicht gut?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 So 12.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab deine Menge [mm] (z_i) [/mm] nicht verstanden. sollen das alle Vielfachen von [mm] z_i [/mm] sein, dann versteh ich deinen ansatz fuer die dritte Aufgabe nicht, wo du nur ein r fuer alle [mm] z_i [/mm] verwendest.
Oder ist r fest? dann versteh ich die aussagen nicht.
weiterhin versteh ich die Klammer in (i) nicht
was bedeutet [mm] (z_1,z_2,.... ,z_n)
[/mm]
wie hast du denn (i) geloest?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Wahrscheinlich ist es so gemeint, dass [mm] $(z_1,...,z_n)=\{\sum_{k=1}^n r_iz_i|r_i\in\IZ\}$... [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 So 12.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie soll das mit aussage (i) zusammenpassen?
ggT(3,4)=r1"3 +r2*4 ????
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo
> wie soll das mit aussage (i) zusammenpassen?
> ggT(3,4)=r1"3 +r2*4 ????
Genau das. Für zwei ganze Zahlen [mm] $z_1,z_2$ [/mm] liefert dir der erweiterte euklidische Algorithmus ja genau diese Darstellung.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Zeig doch mal deine Lösung zu $i$, die Aufgabe ist sicherlich am interessantesten.
zu ii):
Ist [mm] $z\in\bigcap_{i}(z_i)$, [/mm] dann gilt [mm] $z_i|z$ [/mm] für alle $i$. Daraus folgt $v|z$ und also [mm] $z\in(v)$. [/mm]
Sei nun [mm] $z\in(v)$, [/mm] d.h. [mm] $z=r\cdot [/mm] v$. Da $v$ ein Vielfaches aller [mm] $z_i$ [/mm] ist, gibt es für jedes $i$ ein [mm] $r_i$ [/mm] mit [mm] $v=r_iz_i$, [/mm] also [mm] $z=r\cdot r_iz_i\Rightarrow z\in(z_i)$ [/mm] für jedes $i$ und damit [mm] $z\in\bigcap_i(z_i)$.
[/mm]
zu iii):
Sei [mm] $z\in(z_1)\cdot...\cdot(z_n)$, [/mm] d.h. [mm] $z=\prod_ir_iz_i=\left(\prod_ir_i\right)\cdot\left(\prod_iz_i\right)$, [/mm] also ist [mm] $z\in(z_1\cdot...\cdot z_n)$.
[/mm]
Ist dagegen [mm] $z\in (z_1\cdot...\cdot z_n)$, [/mm] dann ist [mm] $z=r\cdot\prod_iz_i=\prod_i \alpha(i)z_i$ [/mm] mit [mm] $\alpha(1)=r$ [/mm] und [mm] $\alpha(i)=1$ [/mm] für [mm] $i\ge [/mm] 2$. Also ist auch [mm] $z\in(z_1)\cdot...\cdot(z_n)$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Mo 13.10.2008 | | Autor: | one |
Hallo,
Vielen Dank für deine tolle Hilfe.
Die Teilaufgabe i) habe ich folgendermassen gelöst:
d = [mm] ggT(z_1, [/mm] ... , [mm] z_n). [/mm] Also [mm] \exists \forall z_1,...,z_n [/mm] ein r [mm] \in \IZ [/mm] mit d*r = [mm] z_i, [/mm] i=1,...,n.
d erzeugt also bereits [mm] z_1,...,z_n.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (d) = [mm] (z_1, [/mm] ... [mm] ,z_n)
[/mm]
Wobei der letzte Schritt aus folgenden Gründen folgt:
sei z.B. [mm] d*r_1 [/mm] = [mm] z_1, (z_1) [/mm] = [mm] \{z_1 * q | q \in \IZ\}.
[/mm]
[mm] (z_1) [/mm] = {d * [mm] r_1 [/mm] * q | q [mm] \in \IZ [/mm] }
[mm] \Rightarrow [/mm] d erzeugt also [mm] (z_1). [/mm]
analog für [mm] z_2, [/mm] ..., [mm] z_n.
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:05 Mo 13.10.2008 | | Autor: | one |
Ich glaube, dass ich aber nur bereits gezeigt habe, dass:
(d) [mm] \supseteq (z_1, [/mm] ... [mm] z_n), [/mm] oder?
Jetzt müsste ich noch die andere Richtung zeigen.
Doch wie könnte ich da vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Mo 13.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich glaube, dass ich aber nur bereits gezeigt habe, dass:
> (d) [mm]\supseteq (z_1,[/mm] ... [mm]z_n),[/mm] oder?
Leider nein. Siehe dazu meine Mitteilung.
> Jetzt müsste ich noch die andere Richtung zeigen.
> Doch wie könnte ich da vorgehen?
Dito.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Mo 13.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Tja... das ist leider komplett falsch. Es ist [mm] $(z_1,z_2,...,z_n)=\{\sum_{k=1}^n r_kz_k| r_k\in\IZ\}$. [/mm] Du musst also zeigen:
Ist [mm] $d=ggT(z_1,...,z_n)$, [/mm] dann:
1) Jede Summe [mm] $\sum_{k=1}^n r_kz_k$ [/mm] mit [mm] $r_k\in \IZ$ [/mm] lässt sich schreiben als [mm] $\hat r\cdot [/mm] d$ für ein [mm] $\hat r\in\IZ$.
[/mm]
2) Jede Zahl der Form [mm] $r\cdot [/mm] d$ lässt sich schreiben als Summe [mm] $\sum_{k=1}^n r_k z_k$ [/mm] für geeignete [mm] $r_k\in\IZ$.
[/mm]
Der erste Teil ist wesentlich einfacher. Beim zweiten genügt es offensichtlich zu zeigen, dass [mm] $d=\sum_{k=1}^n r_kz_k$ [/mm] für geeignete [mm] $r_k\in\IZ$.
[/mm]
Ich empfehle dazu Induktion über $n$. Für den Induktionsanfang $n=2$ habe ich weiter oben schon was geschrieben...
Gruß, Robert
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