ggT im Polynomring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Mo 27.10.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei R ein Hauptidealbereich.
Finden Sie ggT (a(x),b(x)) in [mm] \IQ[x] [/mm] mit
a(x) = [mm] x^5+x^4+7x^3+7x^2+12x+10
[/mm]
b(x) = [mm] x^3+x^2+6x+5
[/mm]
Finden Sie u(x), v(x) [mm] \in \IQ[x] [/mm] mit 1 = ua + vb. |
Ich weiss nicht genau, wie ich diese Art von Aufgabe lösen soll.
Selbst einen Teiler für b(x) habe ich nicht gefunden...!
Habe z.B. mit x+2 und x+1 die Polynomdivision durchgeführt, welche dann aber nicht geklappt hat. Bin ich also auf einem ganz falschen Weg?
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> Sei R ein Hauptidealbereich.
> Finden Sie ggT (a(x),b(x)) in [mm]\IQ[x][/mm] mit
>
> a(x) = [mm]x^5+x^4+7x^3+7x^2+12x+10[/mm]
> b(x) = [mm]x^3+x^2+6x+5[/mm]
>
> Finden Sie u(x), v(x) [mm]\in \IQ[x][/mm] mit 1 = ua + vb.
> Ich weiss nicht genau, wie ich diese Art von Aufgabe lösen
> soll.
> Selbst einen Teiler für b(x) habe ich nicht gefunden...!
> Habe z.B. mit x+2 und x+1 die Polynomdivision
> durchgeführt, welche dann aber nicht geklappt hat. Bin ich
> also auf einem ganz falschen Weg?
Hallo,
das macht man mit dem euklidischen Algorithmus, bei dem man auch fleißig Polynome dividiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Di 28.10.2008 | | Autor: | jokerose |
Gut, ich habe mal mit dem euklidischen Algorithmus begonnen, bin dann aber irgendwo steckengeblieben:
a = [mm] q_1 [/mm] * b + [mm] r_1
[/mm]
[mm] a=(x^2+1) [/mm] * b + [mm] (x^2+6x+5) [/mm] habe also Polynomdivision durchgeführt.
b= [mm] q_2 [/mm] * [mm] (x^2+6x+5) [/mm] + [mm] r_2
[/mm]
b= (x-5) * [mm] (x^2+6x+5) [/mm] + (31x+30) wieder mit Polynomdivision
nun sollte ich weiterfahren mit
[mm] (x^2+6x+5) [/mm] = [mm] q_3*(31x+30) [/mm] + [mm] r_3.
[/mm]
Doch die 31x+30 bereiten mir Mühe.
Was habe ich denn genau falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Di 28.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Doch die 31x+30 bereiten mir Mühe.
> Was habe ich denn genau falsch gemacht?
Wohl nix. Du bist in [mm] \IQ[x] [/mm] zugange und kannst weitermachen. Der letzte Rest ist dann eine rationale Zahl. Was bedeutet das für die beiden Polynome? Und wie kommst du an die Darstellung der 1? Daß es die geben soll, ist auch schon ein Wink.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 28.10.2008 | | Autor: | jokerose |
ok, also ich habe nun 125/961 als ggT erhalten. Hoffe, dass dies stimmt.
Muss ich nun diesen brauchen, um an die Darstellung 1=ua+vb zu gelangen?
Habe gerade noch an das Lemma von Bézout gedacht, aber dies hilft mir wohl auch nicht viel weiter...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 28.10.2008 | | Autor: | statler |
Tach!
> ok, also ich habe nun 125/961 als ggT erhalten. Hoffe, dass
> dies stimmt.
Das hoffe ich auch, wissen tu ich's im Moment nicht.
> Muss ich nun diesen brauchen, um an die Darstellung 1=ua+vb
> zu gelangen?
Jetzt gehst du deinen Algorithmus rückwärts, indem du nach dem Rest auflöst (ihn alleinstellst) und einsetzt. Das gibt erstmal eine Darstellung von 125/961, die du noch mit 961/125 multiplizieren mußt.
Ich hoffe, ich habe mich nicht zu klar ausgedrückt 
Gruß
Dieter
> Habe gerade noch an das Lemma von Bézout gedacht, aber
> dies hilft mir wohl auch nicht viel weiter...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Di 28.10.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
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> > ok, also ich habe nun 125/961 als ggT erhalten. Hoffe, dass
> > dies stimmt.
>
> Das hoffe ich auch, wissen tu ich's im Moment nicht.
>
> > Muss ich nun diesen brauchen, um an die Darstellung 1=ua+vb
> > zu gelangen?
>
> Jetzt gehst du deinen Algorithmus rückwärts, indem du nach
> dem Rest auflöst (ihn alleinstellst) und einsetzt. Das gibt
> erstmal eine Darstellung von 125/961, die du noch mit
> 961/125 multiplizieren mußt.
>
> Ich hoffe, ich habe mich nicht zu klar ausgedrückt
>
> Gruß
> Dieter
>
> > Habe gerade noch an das Lemma von Bézout gedacht, aber
> > dies hilft mir wohl auch nicht viel weiter...?
>
Vielen Dank, jetzt hats geklappt.
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