ggT Beweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien a ≥ 1 und b ≥ 0 natürliche Zahlen und k*t = ggT (a,b). Dann gilt: [mm] ggT(\bruch{a}{k},\bruch{b}{k})=t. [/mm] |
Hallo Leute,
Wie funktioniert dieser wahrscheinlich sehr triviale Beweis?
Leider fallen mir auch überhaupt keine Ansätze ein...
Angenommen d sei GGT von a,b dann ist d=k*t und ich weiss, d|a und d|b
also folgt d|a*b als auch d|a+b aber was hilft mir das?
Gruß Daniel
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Versuch doch mal, dir das ganze an einem Beispiel klarzumachen.
Bsp: a=24; b=36; ggT(a,b)=12=3*4 [mm] \Rightarrow [/mm] k=3;t=4
[mm] \Rightarrow ggT(\bruch{24}{3};\bruch{36}{3})=ggT(8;12)=4
[/mm]
Nach dem Prinzip würde ich auch den Beweis aufbauen.
Du hast im Grunde eine Gleichung ggT=k*t
Tipp: Fallunterscheidung hilft weiter 
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Hey,..an einem Bsp. ist mir diese Funktionsweise dieser Aussagen auch klar, aber ich versteh nicht wie ich den Beweiß aufbauen soll, soll heißen mathematisch formulieren soll, und wo ich da eine Fallunterscheidung miteinbeziehen muss. Habt ihr vllt einen einleitenden Gedanken einer Herangehensweise?
Gruß BeeRe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Fr 06.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hey,..an einem Bsp. ist mir diese Funktionsweise dieser
> Aussagen auch klar, aber ich versteh nicht wie ich den
> Beweiß aufbauen soll, soll heißen mathematisch
> formulieren soll, und wo ich da eine Fallunterscheidung
> miteinbeziehen muss. Habt ihr vllt einen einleitenden
> Gedanken einer Herangehensweise?
Nun, das haengt davon ab wie der ggT bei euch definiert ist. Normalerweise ist er (bei ganzen Zahlen) als der positive groesste gemeinsame Teiler definiert.
Du musst also zeigen:
a) $t$ ist ein gemeinsamer Teiler von [mm] $\frac{a}{k}$ [/mm] und [mm] $\frac{b}{k}$;
[/mm]
c) ist $d$ ein gemeinsamer Teiler von [mm] $\frac{a}{k}$ [/mm] und [mm] $\frac{b}{k}$, [/mm] so gilt $d [mm] \mid [/mm] t$.
LG Felix
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