ggT, Abhängigkeit von k,Fälle < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Fr 23.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Man berechne ggT(2k-1,9k+4) in Abhängigkeit von k [mm] \in \IZ [/mm] |
hallo
9k+4 = 4*(2k-1) + (k+8)
2k-1=2*(k+8) + (-17)
=> ggT(2k-1,9k+4)=ggT(k+8,17)
[mm] k\equiv [/mm] 9 mod 17
[mm] \exists [/mm] l [mm] \in \IZ: [/mm] k =17l+9
ggT(17l+9+8,17)=ggT(17l+17,17)=ggT(17*(l+1),17)=17
Streng genommen hätte man ja noch 16 weitere Fälle zu zeigen.
Wie kann ich da am besten argumentieren, dass sonst der ggT =1 ist?
Liebe Grüße
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In den anderen Fällen ist $k+8$ sicher nicht durch 17 teilbar, weil $k + 8 [mm] \not\equiv [/mm] 0$ (mod 17).
Um die alle mit einer großen Schaufel zu erschlagen bedenke, dass der ggT insbesondere ein gemeinsamer Teiler, also auch ein Teiler von 17 sein muss.
Und ich persönlich sehe da nicht sonderlich viele im Angebot...
lg
Schadow
PS:
Noch zwei Tipps für folgende Aufgaben:
1. Die Variablen "l" zu nennen, ist vielleicht nicht die beste Idee, das sieht schon verwirrend wie eine 171 aus.
2. Es gilt $a [mm] \equiv [/mm] 0$ (mod $n$) genau dann, wenn $n | a$.
Du brauchst also deine Betrachtungen mit dem l gar nicht, es reicht schon die Modulobetrachtung.
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