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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Sa 26.02.2005 | | Autor: | newbie |
Eigentlich sind es ganz leichte Aufgaben, so wurde mir jedenfalls gesagt, aber trotzdem blicke ich da momentan nicht durch, weswegen ich über zumindest Ansätze sehr dankbar wäre:
Einmal sollen wir zeigen, dass aus dem ggT von zwei natürlichen Zahlen a und b gleich 1 immer folgt: [mm] ggT(a^{2}-ab+b^{2},a+b) \in [/mm] {1,3} . Hier habe ich zwar schon einiges versucht, wusste aber nicht, wie ich genau ggT(a,b)=1 einbauen könnte... Also mein Ansatz war, dass es eine Zahl x geben muss, die a+b teilt, aber weder a noch b teilt, da sie sobald sie eine von beiden teilt, auch die andere teilt...
Dann sollen wir zeigen, dass für n [mm] \in \IN [/mm] gilt: ggT(n!+1,(n+1)!+1)=1 ist. Naja, ich hab nun versucht das zum Widerspruch zu führen, indem ich angenommen habe n!+1 = as und (n+1)!+1 = at (also beide Vielfache von a) Und da (n+1)!+1 = (n!+1) +n*n! habe ich durch Einsetzten von dem Vielfachen von a folgendes bekommen: as +n*n! = at, also n*n! = at-as. Gut, as und at müssen immer ungerade sein und at-as gerade, was ja erfüllt ist, also nix mit erhofften Widerspruch...
Und zu guterletzt war dann noch, das wir für alle m aus den ungeraden natürlichen zahlen und n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] ggT(2^{m}-1,2^{n}+1)=1 [/mm] nachweisen müssen. Da habe ich versucht wie bei der Aufgabe weiter oben ranzugehen, was mir aber nicht viel weitergeholfen hat...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Sa 26.02.2005 | | Autor: | moudi |
> Eigentlich sind es ganz leichte Aufgaben, so wurde mir
> jedenfalls gesagt, aber trotzdem blicke ich da momentan
> nicht durch, weswegen ich über zumindest Ansätze sehr
> dankbar wäre:
>
> Einmal sollen wir zeigen, dass aus dem ggT von zwei
> natürlichen Zahlen a und b gleich 1 immer folgt:
> [mm]ggT(x^{2}-ab+b^{2},a+b) \in[/mm] {1,3} . Hier habe ich zwar
Diese Behauptung ist sicher falsch. Gegenbeispiel: a=3, b=5, x=2. Dann ist
[mm] $x^{2}-ab+b^{2}=14, [/mm] a+b=8$ und ggT(14,8)=2.
> schon einiges versucht, wusste aber nicht, wie ich genau
> ggT(a,b)=1 einbauen könnte... Also mein Ansatz war, dass es
> eine Zahl x geben muss, die a+b teilt, aber weder a noch b
> teilt, da sie sobald sie eine von beiden teilt, auch die
> andere teilt...
>
> Dann sollen wir zeigen, dass für n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> ggT(n!+1,(n+1)!+1)=1 ist. Naja, ich hab nun versucht das
> zum Widerspruch zu führen, indem ich angenommen habe n!+1 =
> as und (n+1)!+1 = at (also beide Vielfache von a) Und da
> (n+1)!+1 = (n!+1) +n*n! habe ich durch Einsetzten von dem
> Vielfachen von a folgendes bekommen: as +n*n! = at, also
> n*n! = at-as. Gut, as und at müssen immer ungerade sein
> und at-as gerade, was ja erfüllt ist, also nix mit
> erhofften Widerspruch...
>
> Und zu guterletzt war dann noch, das wir für alle m aus den
> ungeraden natürlichen zahlen und n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]ggT(2^{m}-1,2^{n}+1)=1[/mm] nachweisen müssen. Da habe ich
> versucht wie bei der Aufgabe weiter oben ranzugehen, was
> mir aber nicht viel weitergeholfen hat...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Sa 26.02.2005 | | Autor: | newbie |
Tippfehler! Ich habe diesen Formeleditor verwendet und vergessen, das x durch ein a zu ersetzen... hab ich aber inzwischen berichtigt, sorry!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Sa 26.02.2005 | | Autor: | moudi |
> Eigentlich sind es ganz leichte Aufgaben, so wurde mir
> jedenfalls gesagt, aber trotzdem blicke ich da momentan
> nicht durch, weswegen ich über zumindest Ansätze sehr
> dankbar wäre:
>
> Einmal sollen wir zeigen, dass aus dem ggT von zwei
> natürlichen Zahlen a und b gleich 1 immer folgt:
> [mm]ggT(x^{2}-ab+b^{2},a+b) \in[/mm] {1,3} . Hier habe ich zwar
> schon einiges versucht, wusste aber nicht, wie ich genau
> ggT(a,b)=1 einbauen könnte... Also mein Ansatz war, dass es
> eine Zahl x geben muss, die a+b teilt, aber weder a noch b
> teilt, da sie sobald sie eine von beiden teilt, auch die
> andere teilt...
>
> Dann sollen wir zeigen, dass für n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> ggT(n!+1,(n+1)!+1)=1 ist. Naja, ich hab nun versucht das
Beachte [mm] $\underbrace{(n+1)!+1}_B=(n+1) n!+1=(n+1)n!+(n+1)-(n+1)+1=(n+1)\underbrace{(n!+1)}_A+n$.
[/mm]
Wenn eine Zahl z die Zahlen A und B teilt, dann auch die Zahl n. Da aber A=n!+1 und n teilerfremd sind gilt z=1.
mfG Moudi
> zum Widerspruch zu führen, indem ich angenommen habe n!+1 =
> as und (n+1)!+1 = at (also beide Vielfache von a) Und da
> (n+1)!+1 = (n!+1) +n*n! habe ich durch Einsetzten von dem
> Vielfachen von a folgendes bekommen: as +n*n! = at, also
> n*n! = at-as. Gut, as und at müssen immer ungerade sein
> und at-as gerade, was ja erfüllt ist, also nix mit
> erhofften Widerspruch...
>
> Und zu guterletzt war dann noch, das wir für alle m aus den
> ungeraden natürlichen zahlen und n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]ggT(2^{m}-1,2^{n}+1)=1[/mm] nachweisen müssen. Da habe ich
> versucht wie bei der Aufgabe weiter oben ranzugehen, was
> mir aber nicht viel weitergeholfen hat...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Sa 26.02.2005 | | Autor: | moudi |
> Eigentlich sind es ganz leichte Aufgaben, so wurde mir
> jedenfalls gesagt, aber trotzdem blicke ich da momentan
> nicht durch, weswegen ich über zumindest Ansätze sehr
> dankbar wäre:
>
> Einmal sollen wir zeigen, dass aus dem ggT von zwei
> natürlichen Zahlen a und b gleich 1 immer folgt:
> [mm]ggT(a^{2}-ab+b^{2},a+b) \in[/mm] {1,3} . Hier habe ich zwar
Hallo newbie
Beachte [mm] $a^{2}-ab+b^{2}=(a+b)^2-3ab$. [/mm] Daraus folg, dass [mm] $g=ggT(a^{2}-ab+b^{2},a+b)$ [/mm] die Zahl 3ab teilt. Da a und a+b rsp. b und a+b teilerfremd sind (weil a, b teilerfremd sind) folgt, dass g die Zahl 3 teilt. Daraus folgt g=1 oder g=3.
mfG Moudi
> schon einiges versucht, wusste aber nicht, wie ich genau
> ggT(a,b)=1 einbauen könnte... Also mein Ansatz war, dass es
> eine Zahl x geben muss, die a+b teilt, aber weder a noch b
> teilt, da sie sobald sie eine von beiden teilt, auch die
> andere teilt...
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> Dann sollen wir zeigen, dass für n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> ggT(n!+1,(n+1)!+1)=1 ist. Naja, ich hab nun versucht das
> zum Widerspruch zu führen, indem ich angenommen habe n!+1 =
> as und (n+1)!+1 = at (also beide Vielfache von a) Und da
> (n+1)!+1 = (n!+1) +n*n! habe ich durch Einsetzten von dem
> Vielfachen von a folgendes bekommen: as +n*n! = at, also
> n*n! = at-as. Gut, as und at müssen immer ungerade sein
> und at-as gerade, was ja erfüllt ist, also nix mit
> erhofften Widerspruch...
>
> Und zu guterletzt war dann noch, das wir für alle m aus den
> ungeraden natürlichen zahlen und n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]ggT(2^{m}-1,2^{n}+1)=1[/mm] nachweisen müssen. Da habe ich
> versucht wie bei der Aufgabe weiter oben ranzugehen, was
> mir aber nicht viel weitergeholfen hat...
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