ggT < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Mo 07.05.2007 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler g der Polynome
[mm] f_1 [/mm] = [mm] T^5 [/mm] + [mm] 3T^4 [/mm] − [mm] 3T^3 [/mm] + [mm] 4T^2 [/mm] − T − 4 und [mm] f_2 [/mm] = [mm] T^4 [/mm] + [mm] 3T^3 [/mm] − [mm] 6T^2 [/mm] − 6T + 8 [mm] \in\IR[T]
[/mm]
und stellen Sie ihn dar als
g = [mm] a_1 f_1 [/mm] + [mm] a_2 f_2 [/mm] für geeignete [mm] a_i\in\IR[T].
[/mm]
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hey..
leider auch hier keine ahnug wie man dsa macht :(
hab versucht [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] in linearfaktoren zu zerlegen, bin aber schon an der stelle gescheitert. Gibts da nicht eine besser Lösung?
wäre echt nett, wenn ihr mir etwas weiterhelfen könntet.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Mo 07.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Euklidischer Algorithmus...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
was die Zerlegung der Polynome in Linearfaktoren anbelangt, so haben beide die gemeinsamen Nullstellen T = 1 und T = -4.
Wäre der ggT dann nicht (T + 4) * (T - 1) ?
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mo 07.05.2007 | | Autor: | AriR |
ja genau..
das müsste eigentlihc richtig sein,wenn man noch wüsste welche exponenten die lin.faktoren haben also wievielfache nullstellen das sind oder?
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Hallo,
die Nullstellen bei T = -4 und T = 1 sind einfache. Das sieht man auch nach einer Polynomdivision:
[mm] f_{2} [/mm] = (T + 4) * (T - 1) * [mm] (T^{2} [/mm] - 2)
Hier sind die weiteren Nullstellen des Rstpolynoms [mm] \pm[/mm] [mm]\wurzel{2}[/mm].
[mm] f_{1} [/mm] = (T + 4) * (T - 1) * [mm] (T^{3} [/mm] + T + 1)
Hier hat das Restpolynom eine reelle Nullstelle T = -0,682328... und zwei konjugiert komplexe (mit Cardano bestimmt).
Also müsste der ggT (T + 4) * (T - 1) sein.
LG, Martinius
P.S. Weißt Du, wie man Nullstellen rät bei Polynomen höheren Grades?
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der ggT besteht nicht immer nur aus den Linearfaktoren, die man aus der Bestimmung der Nullstellen erhält. So könnten beide Polynome den gemeinsamen Faktor [mm] x^{2}+1 [/mm] enthalten, den man nicht durch Betrachtung der Nullstellen erhält. Grundsätzlich wird der ggT mit Hilfe des Euklidschen Algorithmus bestimmt. Aus dem Algorithmus heraus kann man durch Rückeinsetzen auch die gesuchten Faktoren für die Gleichung [mm] ggT=P_{1}f_{1}+P_{2}f_2 [/mm] finden.
Allerdings: Wenn man schon Linearfaktoren hat, kann man diese auch ausklammern und - in gleicher Potenz - bei beiden Polynomen "wegkürzen" und mit den "Resttermen" mit Hilfe des Euklidschen Algorithmus noch weitere gemeinsame Faktoren suchen.
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