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geteilte fkt differenzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Mo 25.06.2012
Autor: Surt

Aufgabe
Bestimme alle reellen Zahlen x [mm] \in \IR [/mm] in denen die Funktion

[mm] f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & \mbox{falls }x \in \IQ\\ x^{2}, & \mbox{sonst} \end{array}\right. [/mm]

differenzierbar ist und berechne an diesen Stellen die Ableitung.


Hallo,
Ich hab noch nie Differenzierbarkeit gezeigt und tu mich auch mit der Definition etwas schwer.

Ich weiß, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt, das heißt für alle x für die die Funktion nicht stetig ist, ist sie auch nicht Differenzierbar.

Damit bliebe nur x=0 übrig, weil die Funktion sonst immer zwischen [mm] x^2 [/mm] und 0 "springt".
Da bin ich mir nicht ganz so sicher, weil ja sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen dicht in [mm] \IR [/mm] liegen, aber mir fehlt auch sonst ein Idee.

Viele Grüße
Surt

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
geteilte fkt differenzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mo 25.06.2012
Autor: fred97


> Bestimme alle reellen Zahlen x [mm]\in \IR[/mm] in denen die
> Funktion
>  
> [mm]f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & \mbox{falls }x \in \IQ\\ x^{2}, & \mbox{sonst} \end{array}\right.[/mm]
>  
> differenzierbar ist und berechne an diesen Stellen die
> Ableitung.
>  Hallo,
>  Ich hab noch nie Differenzierbarkeit gezeigt und tu mich
> auch mit der Definition etwas schwer.
>  
> Ich weiß, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt,
> das heißt für alle x für die die Funktion nicht stetig
> ist, ist sie auch nicht Differenzierbar.
>  
> Damit bliebe nur x=0 übrig, weil die Funktion sonst immer
> zwischen [mm]x^2[/mm] und 0 "springt".

Na ja, das ist keine saubere Begründung.


Begründe sauber, dass f in jedem [mm] x_0 \ne [/mm] 0 unstetig ist.

  
Sei also [mm] x_0 \ne [/mm] 0

Fall 1: [mm] x_0 \notin \IQ. [/mm] Wähle eine Folge [mm] (i_n) [/mm] irrationaler Zahlen mit [mm] i_n \to x_0. [/mm] Was treibt [mm] (f(i_n)) [/mm] ?          


Fall 1: [mm] x_0 \in \IQ. [/mm] Wähle eine Folge [mm] (r_n) [/mm] rationaler Zahlen mit [mm] r_n \to x_0. [/mm] Was treibt [mm] (f(r_n)) [/mm] ?  




Für die Differenzierbarkeit in 0 zeige:

   [mm] |\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] | [mm] \le [/mm] |x|  für alle x.

FRED

>  Da bin ich mir nicht ganz so sicher, weil ja sowohl die
> rationalen als auch die irrationalen Zahlen dicht in [mm]\IR[/mm]
> liegen, aber mir fehlt auch sonst ein Idee.
>  
> Viele Grüße
>  Surt
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
geteilte fkt differenzieren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:41 Mo 25.06.2012
Autor: Surt


> Fall 1: $ [mm] x_0 \notin \IQ. [/mm] $ Wähle eine Folge $ [mm] (i_n) [/mm] $ irrationaler Zahlen mit $ [mm] i_n \to x_0. [/mm] $ Was treibt $ [mm] (f(i_n)) [/mm] $ ?          


> Fall 2: $ [mm] x_0 \in \IQ. [/mm] $ Wähle eine Folge $ [mm] (r_n) [/mm] $ rationaler Zahlen mit $ [mm] r_n \to x_0. [/mm] $ Was treibt $ [mm] (f(r_n)) [/mm] $ ?  

für Fall 1 ist [mm] f(i_{n}) [/mm] = [mm] i_{n}^{2} [/mm] und [mm] \lim_{i_{n}\to x_{0}}f(i_{n}) [/mm] = [mm] x_{0}^2 [/mm]

In Fall 2 ist [mm] f(r_{n}) [/mm] = 0 für alle [mm] r_{n}. [/mm]

Also hat f je nachdem ob x rational oder irrational ist unterschiedliche Häufungspunkte und damit existiert der Grenzwert im allgemeinen nicht?

Bezug
                        
Bezug
geteilte fkt differenzieren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mi 27.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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