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| Aufgabe | | In einem Dreieck wird der Mittelpunkt einer Seitenhalbierenden mit dem gegenüberliegenden Dreieckspunkt verbunden. Welches Teilverhältnis erzeugt diese Linie auf der entsprechenden Dreiecksseite? |
Hallo, ich hab es echt schon ewig versucht, aber ich komm nicht drauf. Hat mir nicht irgendjemand wenigstens einen Ansatz? Ich steh voll auf dem Schlauch. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, weil es mir echt peinlich ist...
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Hi, Bodo,
nehmen wir die Seitenhalbierende vom Punkt A zur Seite [BC].
Folgende Bezeichnungen werden eingeführt:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vec{b}
[/mm]
Mittelpunkt der Seite [BC] sei D,
Mittelpunkt der Seitenhalbierenden [AD] sei M,
der Punkt, in dem die Verlägerung der Strecke [CM] die Seite [AB] trifft, sei E.
(Am besten, Du skizzierst Dir die Situation!)
Nun haben wir bezüglich einer geeigneten Vektorkette "die freie Auswahl".
Ich nehme mal AEMA, also:
[mm] \overrightarrow{AE} [/mm] + [mm] \overrightarrow{EM} [/mm] + [mm] \overrightarrow{MA} [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm] (***)
Jetzt werden die betreffenden Vektoren durch die "Basisvektoren" [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ausgedrückt:
[mm] \overrightarrow{AE} [/mm] = [mm] r*\vec{a} [/mm] (mit später zu bestimmender Konstante r).
[mm] \overrightarrow{EM} [/mm] = [mm] s*\overrightarrow{EC} [/mm] = [mm] s*(-r*\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b}) [/mm]
(Es ist ja auch nicht bekannt, in welchem Verhältnis M die Strecke [CE] teilt!)
[mm] \overrightarrow{EM} [/mm] = [mm] -rs*\vec{a} [/mm] + [mm] s*\vec{b}.
[/mm]
[mm] \overrightarrow{MA} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\overrightarrow{DA}
[/mm]
(denn: M ist ja die Mitte der Seitenhalbierenden!)
und [mm] \overrightarrow{DA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{DB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BA}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2}*\vec{a} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*\vec{b}
[/mm]
Also: [mm] \overrightarrow{MA} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4}*\vec{a} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*\vec{b}
[/mm]
Diese 3 Vektoren werden nun in (***) eingesetzt:
[mm] r*\vec{a} [/mm] - [mm] rs*\vec{a} [/mm] + [mm] s*\vec{b} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*\vec{a} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Ausklammern der Basisvektoren:
(r - rs - [mm] \bruch{1}{4})*\vec{a} [/mm] + (s - [mm] \bruch{1}{4})*\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Da die Basisvektoren linear unabhängig sein müssen, sind BEIDE KLAMMERN = 0:
I. (r - rs - [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] = 0
II. (s - [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] = 0
Aus II. folgt sofort: s = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Setzt man dies in I. ein, errechnet man r = [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Somit kann man nun die Frage nach dem Teilverhältnis beantworten:
Der Punkt E teilt die Seite [AB] im Verhältnis 1 : 2.
(Keine Garantie für Rechenfehler!)
mfG!
Zwerglein
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