geometrische VFH < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mi 16.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Klausurvorbereitung |
Hallo, ich wollte mal fragen wie man auf die geometrische Vielfachheit kommt. Da häng ich grad iwie bei den Klausuraufgaben :O
Gruß David
|
|
| |
|
Hallo!
> Hallo, ich wollte mal fragen wie man auf die geometrische
> Vielfachheit kommt. Da häng ich grad iwie bei den
> Klausuraufgaben :O
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Dimension des zugehörigen Eigenraumes.
In Formeln: Ist $A$ die Matrix, von der wir reden, und [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert von $A$, dann ist die geometrische Vielfachheit [mm] $\mu_{geo}(\lambda)$ [/mm] des Eigenwerts:
[mm] $\mu_{geo}(\lambda) [/mm] = dim(Kern(A - [mm] \lambda [/mm] E))$
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 16.03.2011 | | Autor: | David90 |
mmhhh will mir noch nicht ganz einleuchten xD Also sagen wir mal wir haben die Matrix A := [mm] \pmat{ 5 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -10 & 5 & -6 } [/mm] Der Kern von A ist span { [mm] \vektor{-\bruch{3}{5} \\ 0 \\ 1} [/mm] } und das charakteristische Polynom ist -1(z+1)^2z also die EW's: [mm] z_{1/2}=-1 [/mm] und [mm] z_{3}=0 [/mm] (Ergebnisse müssen nicht nachgepfüft werden, die stimmen ;)) Wie kommt man denn jetzt auf die geometrische VFH?
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo David,
> mmhhh will mir noch nicht ganz einleuchten xD Also sagen
> wir mal wir haben die Matrix A [mm] :=\pmat{ 5 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -10 & 5 & -6 }
[/mm]
> Der Kern von A ist span { [mm] \vektor{-\bruch{3}{5} \\ 0 \\ 1} [/mm] } und das charakteristische Polynom ist -1(z+1)^2z also die
> EW's: [mm]z_{1/2}=-1[/mm] und [mm]z_{3}=0[/mm] (Ergebnisse müssen nicht
> nachgepfüft werden, die stimmen ;)) Wie kommt man denn
> jetzt auf die geometrische VFH?
Der Eigenraum zu einem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist der Nullraum der Matrix [mm] $A-\lambda [/mm] E$. Bestimme von diesem eine Basis. Die geometrische VFH ist die Länge dieser Basis.
Es gilt immer geometrische VFH [mm] \leq [/mm] algebraische VFH.
> Gruß David
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mi 16.03.2011 | | Autor: | David90 |
der Nullraum der Matrix [mm] A-\lambda [/mm] E Was meinst du denn damit?:(
Gruß David
|
|
|
| |
|
> der Nullraum der Matrix [mm]A-\lambda[/mm] E Was meinst du denn damit?:(
Nullraum = Kern
> Gruß David
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mi 16.03.2011 | | Autor: | David90 |
Also sind wir wieder bei dim(Kern(A - [mm] \lambda [/mm] E)) = geometrische VFH. Das ist ja das was Stefan gepostet hat und das hab ich ja nich verstanden...hab gehofft, dass mir das jemand schnell an dem Bsp. erklären kann :O
Gruß David
|
|
|
| |
|
> Also sind wir wieder bei dim(Kern(A - [mm]\lambda[/mm] E)) =
> geometrische VFH. Das ist ja das was Stefan gepostet hat
> und das hab ich ja nich verstanden...hab gehofft, dass mir
> das jemand schnell an dem Bsp. erklären kann :O
> Gruß David
Rechne doch selbst einmal vor, wie du eine Basis von Kern(A - [mm]\lambda[/mm] E) für den Eigenwert [mm] \lambda=-1 [/mm] findest. Dann sehen wir, wo das Problem ist. Die Basis eines Kerns hast du ja bereits einmal bestimmt. Und dass die Länge der Basis des Nullraums=Kerns von A-[mm]\lambda[/mm]E die geometrische VFH zum EW [mm] \lambda [/mm] ist, wurde dir nun oft genug mitgeteilt.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Fr 18.03.2011 | | Autor: | David90 |
vorher noch eine Frage..wenn man den Eigenwert 0 hat, ist der dazugehörige Eigenvektor immer der Vektor im Kern bzw. bei mehreren Eigenvektoren 0, die Vektoren im Kern?
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo,
Die allgemeine Gleichung für Eigenwerte (Matrix A, Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] Eigenvektor x) lautet: $Ax = [mm] \lambda [/mm] * x$.
Wenn [mm] $\lambda [/mm] = 0$, steht da $Ax = 0*x = 0$.
Das heißt die Vektoren zum Eigenwert 0 sind gerade die, die im Kern liegen.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
