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Hallo,
ich habe da mal ne Frage und zwar: Kann man eine geometrische Reihe nach einer Variable umstellen?
Bsp:
[mm] \summe_{i=0}^{n} x^i [/mm] =N
Kann ich da die Reihe irgendwie nach x umstellen?
Die Reihe ausgeschrieben wäre ja N=(1-x^(n-1))/(1-x)
Habe da aber keine Ahnung wie ich diese Gleichung nach x umstellen könnte...oder is das generell nicht möglich...aber mit welchem Trick kann man nach x umstellen, bzw. bei gegeben N und n das x herausbekommen...
Für ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar
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Hallo Darthwader,
> Hallo,
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> ich habe da mal ne Frage und zwar: Kann man eine
> geometrische Reihe nach einer Variable umstellen?
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> Bsp:
> [mm]\summe_{i=0}^{n} x^i[/mm] =N
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> Kann ich da die Reihe irgendwie nach x umstellen?
> Die Reihe ausgeschrieben wäre ja N=(1-x^(n-1))/(1-x)
Die allgemeine Formel lautet:
[mm]\sum_{k=0}^n{x^k}=
\begin{cases}
\frac{x^{n+1}-1}{x-1}, & x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\\
0, & x = 0\\
n+1, & x = 1
\end{cases}[/mm]
Wenn man das Ganze jetzt umstellen möchte, kommt man in eine Sackgasse:
[mm]\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=N\Leftrightarrow x^{n+1}-1=Nx-N\Leftrightarrow x^{n+1}-Nx+N-1=0[/mm]
Ich denke nicht, daß es eine allgemeine Formel zur Bestimmung der Nullstellen dieses Polynoms gibt. Da helfen wohl nur noch Näherungsverfahren für bestimmte N und n weiter. Bis [mm]n=2\![/mm] gibt es allerdings noch die ![[]](/images/popup.gif) Formeln von Cardano.
Viele Grüße
Karl
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