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| Aufgabe | Sei |q| <1 und [mm] q\in\IR. [/mm] Zeigen Sie dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n\*q^{n}konvergiert [/mm] und berechnen Sie den Reihenwert.
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Hallo!
Ich bin nach der Anleitung vorgegangen:
Betrachten Sie die Folge der Pratialsummen und ersetzen Sie n durch [mm] \summe_{i=0}^{n-1}1 [/mm] . Vertauschen Sie dann die beiden Summen und benutzen Sie die bereits bekannste Formel für die geometr. Summe.
Dann komme ich zu [mm] \summe_{i=0}^{n-1}1\*\bruch{1-q^{m+1}}{1-q}
[/mm]
Das Ergebnis muss aber [mm] \bruch{q}{(1-q)^{2}} [/mm] sein...?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 So 30.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei |q| <1 und [mm]q\in\IR.[/mm] Zeigen Sie dass die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n\*q^{n}konvergiert[/mm] und berechnen Sie
> den Reihenwert.
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> Hallo!
> Ich bin nach der Anleitung vorgegangen:
> Betrachten Sie die Folge der Pratialsummen und ersetzen
> Sie n durch [mm]\summe_{i=0}^{n-1}1[/mm] . Vertauschen Sie dann die
> beiden Summen und benutzen Sie die bereits bekannste Formel
> für die geometr. Summe.
> Dann komme ich zu
> [mm]\summe_{i=0}^{n-1}1\*\bruch{1-q^{m+1}}{1-q}[/mm]
Dann wende darauf (falls es stimmt) die Summenformel für die geometrische Reihe "rückwärts" an. Jeder einzelne Summand deiner Partialsummenfolge hat dann die Form [mm] 1+q+q^2+... [/mm] bis zum jeweils letzten Summanden. Für i=0 ist die Summe 1, für i=1 ist sie 1+q, für i=2 ist sie [mm] 1+q+q^2 [/mm] usw. Das lässt sich neu zusamenfassen, dann Grenzwertbildung probieren.
Falls das nicht hilft, würde ich erst mal alle Summanden mit (1-q) erweitern und dann überall [mm] \bruch{ 1}{(1-q)^2} [/mm] ausklammern. Das Verbleibende müsste dann als Summe q ergeben...
Gruß Abakus
> Das Ergebnis muss aber [mm]\bruch{q}{(1-q)^{2}}[/mm] sein...?
> LG
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