geometrische Bedeutung LGS < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mi 06.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hallo,
bei uns im Abi ist heute eine Aufgabe im Pflichtteil drangekommen, bei der nach der "geometrischen Bedeutung" eines LGS mit 3 unbekannten Variablen, für das es genau eine Lösung gab, gefragt wurde.
Ich habe mir gedacht, dass es einfach drei Ebenen sind, die sich eben in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt hat genau die Koordinaten, die als Lösung rauskommen ( [mm] P(x_1|x_2|x_3) [/mm] ), wobei L = [mm] \{(x_1;x_2;x_3)\}. [/mm] Kann mir dies jemand bestätigen?
Schönen Abend,
mathrix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo mathrix,
ich würde behaupten dass du das falsch interpretiert hast. Geometrisch könnte man das LGS deuten als eine Ebene die von einer Geraden in einem Punkt durchstoßen wird, denn
$E: [mm] \vec{x}=\vec{p}+r\cdot \vec{u} [/mm] + [mm] s\cdot \vec{v}, \qquad [/mm] g: [mm] \vec{x}=\vec{q}+t\cdot \vec{w}, \quad r,s,t,\in \mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $\gdw r\cdot \vec{u} [/mm] + [mm] s\cdot \vec{v}- t\cdot \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{q}-\vec{p}$
[/mm]
führt zu einem LGS mit drei Variablen. Gibt es genau ein Tuepl $(r|s|t)$ als Lösung gibt dieses jeweils den gemeinsamen Durchstoßpunkt an.
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 06.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hi Brackhaus,
danke für deine schnelle Antwort. Ich habe die Frage etwas unklar formuliert: Folgendes war gegeben (in der Form, nicht genau das):
2x + y + 2z = 4
-x + 3z = -1
-3x - y = -2
(ob ich die Variablen x,y,z oder [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] nenne ist ja eigentlich egal)
Dann habe ich mir gedacht, dass jede Zeile für sich eine Ebenengleichung ist. Damit habe ich 3 Ebenen. Wenn ich nun eine Lösung herausbekomme, dann ist dies keine Gerade (da hätte ich ja unendlich viele Lösungen), sondern muss es ein Punkt sein. Diesen Punkt habe ich dann einfach als Schnittpunkt der 3 Ebenen gedeutet.
Schönen Abend noch und sorry, wenn ich ein bisschen neben der Kappe bin,
mathrix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Do 07.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hi Julius,
danke für deine Antwort. Ich glaube zwar nicht, dass es für diese Aufgabe allzu viele Verrechnungspunkte gab, aber ich versuche nach Klausuren etc. die Ergebnisse zu überprüfen um einigermaßen die Note abschätzen zu können.
Mir ist heute morgen auch noch ein Weg eingefallen, wie ich es selbst überprüfen gekonnt hätte: 3 Ebenen in Normalenform, die alle denselben Stützvektor besitzen, jedoch linear unabhängige Normalenvektoren. In der Koordinatenform ist der Stützvektor dann nicht mehr zu erkennen, müsste aber als einzige Lösung bei dem LGS herauskommen. Ich bin jedoch im Moment noch ziemlich im Lernstress, da am Montag noch Physik und am Dienstag Latein anstehen  .
Gruß und nochmals Danke,
mathrix
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