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| Aufgabe | Sei [mm] S^2=\{(x,y,z)\in\IR^3| x^2+y^2+z^2=1\} [/mm] N=(0,0,1)
i) Zeige: Ist [mm] P=(p_1,p_2,p_3)\in S^2\backslash \{N\}, [/mm] so trifft die eindeutige Gerade durch P und N die z=0 Ebene in [mm] x=\bruch{p_1}{1-p_3}, y=\bruch{p_2}{1-p_3}
[/mm]
ii) Begründe geometrisch warum [mm] \pi_N:S^2\backslash\{N\}\rightarrow \IR^2, [/mm] P [mm] \rightarrow (\bruch{p_1}{1-p_2}, \bruch{p_2}{1-p_3}) [/mm] bij. ist.
iii) Zeige rechnerisch: [mm] \pi^{-1}_N(x,y)=\bruch{1}{x^2+y^2+1}(2x, [/mm] 2y, [mm] x^2-y^2-1) [/mm] |
hallo zusammen,
ich sitze vor diese aufgabe und weiß nicht wo ich anfangen soll.
kann mir jemand dazu einen tipp zu den jeweiligen aufgabenteile geben?
Ich bin für jeden tipp dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Di 20.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]S^2=\{(x,y,z)\in\IR^3| x^2+y^2+z^2=1\}[/mm] N=(0,0,1)
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> i) Zeige: Ist [mm]P=(p_1,p_2,p_3)\in S^2\backslash \{N\},[/mm] so
> trifft die eindeutige Gerade durch P und N die z=0 Ebene in
> [mm]x=\bruch{p_1}{1-p_3}, y=\bruch{p_2}{1-p_3}[/mm]
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> ii) Begründe geometrisch warum
> [mm]\pi_N:S^2\backslash\{N\}\rightarrow \IR^2,[/mm] P [mm]\rightarrow (\bruch{p_1}{1-p_2}, \bruch{p_2}{1-p_3})[/mm]
> bij. ist.
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> iii) Zeige rechnerisch:
> [mm]\pi^{-1}_N(x,y)=\bruch{1}{x^2+y^2+1}(2x,[/mm] 2y, [mm]x^2-y^2-1)[/mm]
> hallo zusammen,
>
> ich sitze vor diese aufgabe und weiß nicht wo ich anfangen
> soll.
>
> kann mir jemand dazu einen tipp zu den jeweiligen
> aufgabenteile geben?
Ich gebe Dir mal Tipps für Teil 1:
1. Stelle die Gleichung der Gerade durch N und P auf (in Parameterform).
2. Berechne den Schnittpunkt dieser Gerade mit der x-y-Ebene.
Es sollte herauskommen: $
[mm] $(\bruch{p_1}{1-p_3},\bruch{p_2}{1-p_3},0) [/mm] $
FRED
> Ich bin für jeden tipp dankbar.
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nochmals vielen dank für deinen tipp. Hat mir wirklich weitergeholfen und war garnicht so schwierig wie zuvor gedacht.
jetzt weiss ich ich leider nicht was ich bei iii) machen soll. kannst du mir da auch einen tipp geben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Di 20.10.2015 | | Autor: | Chris84 |
> nochmals vielen dank für deinen tipp. Hat mir wirklich
> weitergeholfen und war garnicht so schwierig wie zuvor
> gedacht.
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> jetzt weiss ich ich leider nicht was ich bei iii) machen
> soll. kannst du mir da auch einen tipp geben.
Huhu,
Berechne [mm] $\pi_N(\pi_N^{-1})$ [/mm] und [mm] $\pi_N^{-1}(\pi_N)$ [/mm] und zeige, dass die Idenditaet rauskommt.
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dankeschön:), vor lauter bäume sieht man den wald nicht....
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