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| Aufgabe | Eine Fliege wird in wenigen sekunden ihr leben auf dem kreisförmigen Autoscheinwerfer K mit Radius R beenden. Vom Mittelpunkt des Scheinwerfers aus betrachtet, besitze ihr Auftreffpunkt die kartesischen Koordinaten X und Y, wobei der Zufallsvektor (X,Y) als gleichverteilt in K angenommen wird.
Bestimmen Sie Cov(X,Y), die Verteilung von R:= [mm] \wurzel{X^{2}+Y^{2}}, [/mm]
E(R) und Var(R). |
Hallo zusammen,
ich bin mal wieder überfordert.ich habe keine ahnung wie ich diese aufgabe gelöst bekomme.ich hoffe ihr könnt mir helfen und meinen sonntag retten:).danke schonmal!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hast du mitlerweile eine Lösung oder zumindest einen Ansatz. Wenn du was hast, wäre es schön wenn du das veröffentlichen könntest. Ich brauch nämlich auch die Antwort zu deiner Frage!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Di 05.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich versuche mal etwas heuristisch zu argumentieren:
Angenommen, der Mittelpunkt von $K$ iegt in $(0,0)$. Dann gilt
[mm] $\mbox{E}[X]=0=$\mbox{E}[Y], [/mm] da $X$ und $Y$ eine Gleichverteilung
in $(-1,1)$ besitzt. Auch $XY$ besitzt eine um 0 symmetrische Verteilung,
so dass [mm] $\mbox{E}[XY]=0$. [/mm] Mithin folgt [mm] $\mbox{Cov}[X,Y]=$\mbox{E}[XY]-$\mbox{E}[X]\mbox{E}[Y]=0$.
[/mm]
Die Verteilung von $R$ erhaelt man so. Zunaechst ist klar, dass $R$ nur
Werte zwischen 0 und $R$ annimmt. Sei $0<r<R$. Dann ist [mm] $P(R\le r)=P(R^2\le r^2)$.
[/mm]
Die Ungleichung [mm] $R\le r^2$ [/mm] beschreibt einen Kreis mit dem Radius [mm] $r^2$. [/mm] Die Flaeche von
$K$ ist [mm] $\pi R^2$, [/mm] so dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm] $(\pi r^2)/(\pi R^2)=(r/R)^2$ [/mm] ist. Mit
dieser Verteilungsfunktion kannst du nun [mm] $\mbox{E}[R]$ [/mm] und [mm] $\mbox{Var}[R]$ [/mm] bestimmen.
hth
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 06.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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