gebrochene rationale Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:36 So 14.10.2007 | | Autor: | Grenzwert |
| Aufgabe | K Kreis in [mm] \IC\cup{\infty},
[/mm]
a,b [mm] \in \IC\cup{\infty} [/mm] \ K
Beh: Es gibt eine gebrochene rationale Funktion f mit
f(K)=K und f(a)=b |
Guten Abend zusammen.
Ich stecke bei folgender Aufgabe... Ich habe versucht mir das alles einigermassen plastisch vorzustellen. Also die Abbildung f muss injektiv und surjektiv sein, damit sie Bedingung 1 erfüllt (f(K)=K). f ist also eine Bijektion (oder sogar eine Permutation, nicht?)
Gleichzeitig kann es aber nicht die Identitätsabbildung sein, da dies nicht mit der 2.Bedingung übereinstimmen würde
So weit so gut,dann weiss ich auch, dass f eine gebrochene rationale funktion ist.. Nur da hörts dann schon auf!
Könnte mir vielleichtjemand weiterhelfen, wie ich an diesen Beweis rangehen könnte? Vielen lieben Dank!!
Grenzwert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mo 15.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> K Kreis in [mm]\IC\cup{\infty},[/mm]
> a,b [mm]\in \IC\cup{\infty}[/mm] \ K
> Beh: Es gibt eine gebrochene rationale Funktion f mit
> f(K)=K und f(a)=b
> Guten Abend zusammen.
> Ich stecke bei folgender Aufgabe... Ich habe versucht mir
> das alles einigermassen plastisch vorzustellen. Also die
> Abbildung f muss injektiv und surjektiv sein, damit sie
> Bedingung 1 erfüllt (f(K)=K). f ist also eine Bijektion
Auf dem Kreis, aber es geht ja um eine gebrochen rationale Funktion auf [mm]\IC\cup{\infty}[/mm].
> So weit so gut,dann weiss ich auch, dass f eine gebrochene
> rationale funktion ist.. Nur da hörts dann schon auf!
> Könnte mir vielleichtjemand weiterhelfen, wie ich an
> diesen Beweis rangehen könnte? Vielen lieben Dank!!
Als Erstes überlege dir, dass es genügt, die Behauptung für den Einheitskreis um 0 zu beweisen: Jeder Kreis mit Mittelpunkt m und Radius r ist durch eine lineare Abbildung [mm]z \mapsto r^{-1}(z-m)[/mm] auf den Einheitskreis abzubilden. Dann setzt du die einfache gebrochen rationale Funktion
[mm]f(z) = \bruch{c+dz}{e+fz}[/mm]
an und benutzt [mm]f(a)=b[/mm] sowie [mm]|f(z)|=1[/mm] für [mm]|z|=1[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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