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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 So 13.05.2007 | | Autor: | bliblub |
Guten Tag.
Ich habe die Funktion
f(x)= [mm] x^3/x^2-4
[/mm]
Ich habe diese Funktion nach der Quotientenregel abgeleitet:
heraus kam das [mm] x^4 -12x^2/(x^2-4)^2
[/mm]
Jetzt soll ich die zweite Ableitung bilden: Unser Mathelehrer meinte Ihr müsst die Funktion erst nach der Quotientenregel ableiten
u strich mal v - u mal v strich / [mm] (v)^2
[/mm]
anstatt von normalen ableiten von v strich im zähler sollen wir diese komponente nach der kettenregel ableiten. Sieht dass dann so aus?
[mm] 4x^3 [/mm] -24x mal [mm] (x^2-4)^2 [/mm] - [mm] x^4-12x^2 [/mm] mal (2x) mal [mm] x^2 [/mm] mal [mm] (x^2 -4)^2 [/mm] im Zähler?
und [mm] (x^2-4)^4 [/mm] im Nenner?
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Hallo bliblub,
> Guten Tag.
>
> Ich habe die Funktion
>
> f(x)= [mm]x^3/x^2-4[/mm]
>
> Ich habe diese Funktion nach der Quotientenregel
> abgeleitet:
>
> heraus kam das [mm]x^4 -12x^2/(x^2-4)^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt soll ich die zweite Ableitung bilden: Unser
> Mathelehrer meinte Ihr müsst die Funktion erst nach der
> Quotientenregel ableiten
>
> u strich mal v - u mal v strich / [mm](v)^2[/mm]
>
> anstatt von normalen ableiten von v strich im zähler sollen
> wir diese komponente nach der kettenregel ableiten. Sieht
> dass dann so aus?
>
> [mm]4x^3[/mm] -24x mal [mm](x^2-4)^2[/mm] - [mm]x^4-12x^2[/mm] mal (2x) mal
> [mm]x^2[/mm] mal [mm](x^2 -4)^2[/mm] im Zähler?
Fast - hier muss es am Schluss [mm] 4x\cdot{}(x^2-4)^\red{1} [/mm] heißen, denn [mm] (x^2-4)^2 [/mm] nach Kettenregel abgeleitet ergibt [mm] 2\cdot{}(x^2-4)^1\cdot{}2x=4x(x^2-4) [/mm]
> und [mm](x^2-4)^4[/mm] im Nenner?
>
Du kannst nun noch einmal [mm] (x^2-4) [/mm] im Zähler ausklammern und dann kürzen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 13.05.2007 | | Autor: | bliblub |
hmm ich hab mir das so gedacht dass man dann das letzte v strich im zähler dass wir nach der kettenregel ableiten sollen so aussieht?
innere ableitung v strich mal außere ableitung u strich ( V (x))
v strich wäre dann 2x und kommt von [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 4)^2 [/mm] mal äußere abl. das wär ja dann einfach nur [mm] x^2 [/mm] von der klammer ( [mm] )^2 [/mm] und dann muss ja noch das normale v berückschtig werden das (V (x)) und das ist ja
[mm] (x^2 -4)^2 [/mm] bis dahin ist es doch erstmal richtig?
Das alles zusammen ergibt bei mir dann das ab dem minus im zähler :
............. - [mm] (x^4 [/mm] - [mm] 12x^2) [/mm] mal (2x) mal [mm] x^2 [/mm] mal [mm] (x^2-4)^2
[/mm]
und zusammenfassen würde ich den teil so:
........... - [mm] (2x^5 [/mm] - [mm] 24x^3) [/mm] mal [mm] (x^4 -4x^2)^2
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 So 13.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ok, für die zweite ableitung ergibt sich nach quotienten- und kettenregel
* natürlich muss hier [mm] (x^2-4)^2 [/mm] abgeleitet werden zu [mm] 2*(x^2-4)*2x [/mm] !! *
[mm] \bruch{(4x^3 -24x)*(x^2-4)^2 -(x^4-12x^2)*2*(x^2-4)*2x}{(x^2-4)^4}
[/mm]
ausklammern [mm] (x^2-4) [/mm] aus dem zähler
= [mm] \bruch{(x^2-4)* [ (4x^3 -24x)*(x^2-4) -4x^5+48x^3]}{(x^2-4)^4}
[/mm]
kürzen
= [mm] \bruch{(4x^3 -24x)*(x^2-4) -4x^5+48x^3}{(x^2-4)^3}
[/mm]
weiter zusammenfassen
= [mm] \bruch{(4x^5 -16x^3 -24x^3 +96x) -4x^5+48x^3}{(x^2-4)^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{8x^3+96x}{(x^2-4)^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{8x * (x^2 + 12)}{(x^2-4)^3}
[/mm]
alles klar?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 13.05.2007 | | Autor: | bliblub |
ab dem zähler ganz oben an der stelle versteh ich das nicht mehr.
[mm] (4x^3 [/mm] -24x) mal [mm] (x^2 -4)^2 [/mm] - [mm] (x^4 -12x^2) [/mm] bis dahin hab ich alles genauso
ab dann hab ich nicht mal 2 mal [mm] (x^2 [/mm] -4)
sondern mal 2x mal [mm] x^2 [/mm] mal [mm] (x^2 -4)^2
[/mm]
könntest du mir die arbeitschritte erklären wie du auf die terme kommst?
meinen term habe ich aus:
innerer ableitung (v strich) also 2x dann mal äußerer ableitung also das [mm] x^2 [/mm] aus der klammer ( [mm] )^2 [/mm] und dann muss ja noch (v(x)) da sein
die kettenregel geht ja so? vstrich mal ustrich mal (v(x))
und das (v(x)) ist bei mir [mm] (x^2 [/mm] -4)
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Hallo,
[mm] u=x^{4}-12x^{2}
[/mm]
[mm] u'=4x^{3}-24x
[/mm]
[mm] v=(x^{2}-4)^{2}
[/mm]
[mm] v'=2(x^{2}-4)2x [/mm] der Term 2x kommt von der inneren Ableitung
[mm] v'=4x(x^{2}-4)
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{(4x^{3}-24x)*(x^{2}-4)^{2}-(x^{4}-12x^{2})*4x(x^{2}-4)}{(x^{2}-4)^{4}}
[/mm]
es muß also der Term 4x stehen, der von der inneren Ableitung (2x) und vom Exponenten (2) kommt,
klammere jetzt [mm] (x^{2}-4) [/mm] und kürze,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 So 13.05.2007 | | Autor: | bliblub |
$ [mm] v=(x^{2}-4)^{2} [/mm] $ das wird ja nach der kettenregel gemacht ich wusste nicht dass man den den exponent ^2 einfach vor die klammer holt , zumindest deute ich es so dass so die ableitung davon funktioniert? Meine vorgehensweise mit ( [mm] )^2 [/mm] und dann einfach zu sagen dass [mm] x^2 [/mm] die ableitung davon ist ist also falsch man holt immer den exponten nach vorne? wenn da stattdessen jetzt [mm] (x^2 -4)^3 [/mm] stehen würde wäre das also 3 mal [mm] (x^2 [/mm] -4) mal 2x oder funktioniert es anders?
dann hat man wie geschrieben u strich also 2 mal v also [mm] (x^2 [/mm] -4) mal v strich das wären dann 2x
wurde am ende die 2x und die 2 vor der klammer 2 ! [mm] (x^2 [/mm] -4) einfach zusammenaddiert und daraus entstehen die 4x oder wo kommt die 4x her?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 13.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
[mm] f(x)=(x^{2}-4)^{2}
[/mm]
[mm] f'(x)=2*(x^{2}-4)*2x=4x*(x^{2}-4)
[/mm]
[mm] g(x)=(x^2 -4)^3
[/mm]
[mm] g'(x)=3*(x^2 -4)^2*2x=6x*(x^2 -4)^2
[/mm]
du hast das hoch 2 vergessen!!!
Du musst die 3 davorschreiben und im Exponenten 1 abziehen.
MfG
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 So 13.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin, würde dir im prinzip zustimmen,
wobei dein f(x) bereits f'(x) ist usw...
>
> [mm]f(x)=(x^{2}-4)^{2}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=2*(x^{2}-4)*2x=4x*(x^{2}-4)[/mm]
>
> [mm]g(x)=(x^2 -4)^3[/mm]
>
> [mm]g'(x)=3*(x^2 -4)^2*2x=6x*(x^2 -4)^2[/mm]
>
> du hast das hoch 2 vergessen!!!
>
> Du musst die 3 davorschreiben und im Exponenten 1 abziehen.
>
> MfG
>
> barsch
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 So 13.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ist korrekt was steffi sagt.
das habe ich übersehen.
die ableitung der ableitung des nenners
[mm] (x^2-4)^2 [/mm] ---> äußere ableitung * innere ableitung
2 * [mm] (x^2-4) [/mm] * 2x
hoofe, das ergebnis stimmt jetzt. bei solchen aufgaben kann man sich verrechnen ohne ende 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 14.05.2007 | | Autor: | bliblub |
gut dann habe ich jetzt insgesamt:
[mm] (4x^3 [/mm] -24x) mal [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 4)^2 [/mm] - [mm] (x^4-12x^2) [/mm] mal 4x [mm] (x^2 [/mm] -4) im zähler
und nenner [mm] (x^2 -4)^4
[/mm]
Nun gehts ans zusammenfassen und mir fällt auf dass ich die regeln dazu ziemlich verlernt habe...........
habe das jetzt so zusammenegefasst als erstes hab ich alle klammern versucht auszurechnen und dabei lass ich dann trotzdem die klammern stehen um nichts durcheinander zu bringen.
Da hab ich vorerst das raus:
[mm] (4x^3 [/mm] -24x) mal [mm] (x^4 [/mm] - 16) - [mm] (x^4 -12x^2) [/mm] mal [mm] (4x^3 [/mm] - 16x)
nenner hab ich vorerst bei [mm] (x^2 -4)^4 [/mm] belassen.
Wie fasste ich jetzt [mm] (4x^3 [/mm] -24x) mal [mm] (x^4 [/mm] - 16) sinnvoll zusammen?
[mm] 4x^3 [/mm] mal [mm] x^4 [/mm] und [mm] 4x^3 [/mm] mal -16 sowie
-23x mal [mm] x^4 [/mm] und -24x mal -16? oder darf man das so nicht?
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Hallo bliblub,
bevor du anfängst, wie wild im Zähler auszumultiplizieren, solltest du einmal [mm] (x^2-4) [/mm] im Zähler ausklammern und gegen ein [mm] (x^2-4) [/mm] im Nenner kürzen - ist auch schon mehrfach im thread erwähnt worden!
Also [mm] $\frac{(4x^3-24x)(x^2-4)^2-[(x^4-12x^2)(4x(x^2-4)]}{(x^2-4)^4}=\frac{\red{(x^2-4)}[(4x^3-24x)(x^2-4)-(4x(x^4-12x^2))]}{(x^2-4)^4}=\frac{(4x^3-24x)(x^2-4)-(4x(x^4-12x^2))}{(x^2-4)^3}=....$
[/mm]
Denk an die Minusklammer beim Zusammenfassen 
Gruß
schachuzipus
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