ganzzahlige Lösungen??! < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 21:38 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
HI @all
Ich wollt mal ne neue interessante Übungsaufgabe reinstellen:
Man zeige, dass die Gleichung [mm] $x^2+y^2+z^2=2xyz$ [/mm] keine weiteren ganzzahligen Lösungen außer (x,y,z,)=(0,0,0) besitzt
Viel Spaß beim Lösen
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Di 16.11.2004 | | Autor: | Poffelchen |
Ich wäre für einen Tip dankbar, wie ich da am besten rangehe, aber ohne dass gleich das Problem gelöst ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Di 16.11.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
HI Poffelchen
Bei der Aufgabe fällt auf, dass linkerseits der Faktor 2 vor xyz steht. Probieren wir also etwas mit der 2 zu machen. Als errstes dividieren wir beide Seiten druch die größte 2er Potenz, die in x, y und z enthalten ist. Und jetzt kannst du mit Paritätsüberlegungen (gerade/ungerade) weiter machen....
So, mehr kann ich dir aber wirklich nicht verraten  Ich hoffe, das hilft dir auf die Sprünge
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Do 18.11.2004 | | Autor: | Poffelchen |
blöde aufgabe, hab heute wiedermal 2 mal 45min dran rumgerechnet und war auch zuversichtlich, doch als ich dann auf meine ausgangszeile kam, war ich sehr frustriert, also ich geb auf... bitte noch nen tip :-D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Do 18.11.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Schön dass du dich noch mit der Aufgabe befasst!!
Als jetzt mal ein Tip etwas konkreter an der Aufgabe:
[mm] $x^2+y^2+z^2=2xyz$ [/mm] die größte 2-er Potenz die in x,y,z enthalten sei [mm] 2^k
[/mm]
wir können also [mm] $x=2^kx_1$ [/mm] , [mm] $y=2^ky_1$ [/mm] , [mm] $z=2^kz_1$ [/mm] mit [mm]x_1,y_1,z_1\in\IZ[/mm] annehmen.
Damit:
[mm]x^2+y^2+z^2=2xyz \gdw 2^{2k}x_1^2+2^{2k}y_1^2+2^{2k}z_1^2=2*2^{3k}x_1y_1z_1 \gdw x_1^2+y_1^2+z_1^2=2^{k+1}x_1y_1z_1[/mm]
Das hab ich mit "durch die größte in x,y,z enhaltene 2-er Potenz teilen" gemeint.
Es können nun nicht [mm] x_1,y_1,z_1 [/mm] alle gerade sein, da sonst [mm] 2^{k+1} [/mm] in x,y,z enthalten wäre und das wiederspricht obiger Annahme, dass [mm] 2^k [/mm] die größte enthaltene 2-er Potenz sei.
Ferner können nicht alle ungerade oder eine Ungerade und zwei gerade sein, da sonst linkerseits eine ungerade Zahl entsteht. Während rechts ja immer eine gerade Zahl steht. Es ist also genau eine Zahl aus [mm] x_1,y_1,z_1 [/mm] gerade. Sagen wir [mm] x_1 [/mm] und setzen [mm] x_1=2x_2 [/mm] (Das kann man aus Symetriegründen annehmen) - so viel zu Paritätsüberlegungen
Der Rest geht über Kongruenzüberlegungen mit modulo 4.
Falls du einfach ein Brett vor dem Kopf hast und auf die Lösung nicht kommst dann meld dich einfach, da post ich dir die Lösung.
Gruß Samuel
P.S.
> blöde aufgabe, hab heute wiedermal 2 mal 45min dran
> rumgerechnet und war auch zuversichtlich, doch als ich dann
> auf meine ausgangszeile kam, war ich sehr frustriert, also
> ich geb auf... bitte noch nen tip :-D
>
Nicht verzweifeln, ist doch blos eine Matheaufgabe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 So 21.11.2004 | | Autor: | Poffelchen |
aber ... hm... ich habe: $ [mm] x^2+y^2+z^2=2xyz [/mm] $
und erweitere den therm mit [mm] 2^k... [/mm] dann kommt doch rechts was anderes raus... oder? [mm] $2\cdot{}2^{3k}x_1y_1z_1 [/mm] $
weil [mm] 2^k [/mm] mal 2xyz is doch 2^(k+1) und nich 2^3k....
*seufz*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 So 21.11.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
> aber ... hm... ich habe: [mm]x^2+y^2+z^2=2xyz[/mm]
>
> und erweitere den therm mit [mm]2^k...[/mm] dann kommt doch rechts
> was anderes raus... oder? [mm]2\cdot{}2^{3k}x_1y_1z_1[/mm]
>
> weil [mm]2^k[/mm] mal 2xyz is doch 2^(k+1) und nich 2^3k....
>
>
> *seufz*
>
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Ich erweitere doch nicht!!! (sonst wäre doch [mm] x_1=x [/mm] ...!) Ich sage vielmehr, dass
[mm] $x=2^kx_1\,,\,y=2^ky_1\,,\,z=2^kz_1$ [/mm] sei mit [mm] k \in\IN_0[/mm] und [mm] $x_1,y_1,z_1\in\IZ$!!!!!
[/mm]
Bsp:
x=24 ; y=64 ; z=84 --> [mm] x=2^3*3 [/mm] ; [mm] y=2^6 [/mm] ; [mm] z=2^2*21
[/mm]
Die größte in x,yundz enthaltene Potenz ist folglich [mm] 2^2 [/mm] (k=2)
[mm] x=2^2*6 [/mm] ; [mm] y=2^2*16 [/mm] ; [mm] z=2^2*21 [/mm] also,
[mm] x_1=6 [/mm] ; [mm] y_1=16 [/mm] ; [mm] z_1=21 [/mm] ....
und damit steht dann auf der rechten seite:
[mm] $2*2^k*x_1*2^k*y_1*2^kz_1=2^{3k+1}x_1y_1z_1$
[/mm]
Und jetzt 'kürze' ich, indem ich durch [mm] 2^k [/mm] dividiere
Und das ganze mache ich nur um anschließend zu sagen, dass dann eben genau eine Zahl von [mm] x_1,y_1,z_1 [/mm] ungerade ist.
Gruß Samuel
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hallo
Hier auf jedenfall nun die Lösung:
[mm] $x^2+y^2+z^2=2xyz$
[/mm]
[mm] 2^k [/mm] sei die größte in x,y,z enthaltene 2-er Potenz:
[mm] $x=2^kx_1,\,y=2^ky_1,\,z=2^kz_1$
[/mm]
es ergibt sich nun:
[mm] $x_1^2+y_1^2+z_1^2=2^{k+1}x_1y_1z_1$ [/mm] (3)
Genau eine Zahl aus [mm] {x_1,y_1,z_1} [/mm] muss offentsichtlich gerade.
O.b.d.A. gilt: [mm] $x_1=2x_2$ [/mm] und damit erhält man:
[mm] $y_1^2+z_1^2=2^{k+2}x_2y_1z_1-4x_2^2$
[/mm]
Die linke Seite ist nun 2(mod4) , die rechte Seite aber 0(mod4) WIEDERSPRUCH!!!!!!
Damit wäre die Aufgabe gelöst.
Die Lösung ist zwar recht spärlich erleutert, aber allein mit der Beweisidee müsste sie doch nachvollziehbar sein.
Gruß Samuel
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Hallo.
Mein Lösungsversuch ist zwar mathematisch noch etwas unexakt, aber ich hoffe es ist dennoch etwas Wahres dran:
[mm]x^2+y^2+z^2[/mm] muss gerade sein. Es gibt dafür folgende 2 Möglichkeiten:
1. Eine Variable ist gerade, die anderen beiden ungerade
2. Alle 3 Variablen sind gerade
1. Sei o.B.d.A. [mm]x=2a[/mm], [mm]y=2b-1[/mm], [mm]z=2c-1[/mm]
[mm]x^2+y^2+z^2=2xyz[/mm]
[mm]4a^2+4b^2-4b+1+4c^2-4c+1=4a(2b-1)(2c-1)[/mm]
Der rechte Term lässt bei Division durch 4 den Rest 0, der linke den Rest 2. Daher scheidet diese Möglichkeit aus.
2. [mm]x=2a[/mm], [mm]y=2b[/mm], [mm]z=2c[/mm]
[mm]x^2+y^2+z^2=2xyz[/mm]
[mm]4a^2+4b^2+4c^2=16abc[/mm]
[mm]a^2+b^2+c^2=4abc[/mm]
Wiederum muss [mm]a^2+b^2+c^2[/mm] eine gerade Zahl sein. Dadurch gelangt man mit den obigen Folgerungen zu [mm]a=2a_2[/mm], [mm]b=2b_2[/mm], [mm]c=2c_2[/mm].
Dies lässt sich beliebig oft wiederholen. Somit gelangt man für jede der Variablen entweder zum Unendlichen Ergebnis [mm]2\cdot{}2\cdot{}2\cdot{}2\cdot{}...[/mm] oder zum Ergebnis [mm]0[/mm] (ist eine der Variablen 0, so auch die anderen beiden).
MfG
Jan
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Hi Jan
> Mein Lösungsversuch ist zwar mathematisch noch etwas
> unexakt, aber ich hoffe es ist dennoch etwas Wahres dran:
nur nicht so bescheiden!!! Deine Lösung ist echt super!!!!![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Indem du vollkommen richtig folgerst, dass x, y, z gerade seien müssen, kannst du aus jedem Lösungstrippel [mm] \{x,y,z\} [/mm] auch noch ein kleineres, ganzzahliges Lösungstrippel [mm] \{x/2,y/2,z/2\} [/mm] gewinnen ... und auf diese Weise beliebig kleinere ganzzahlige Lösungen erschließen. (mathematisch kannst du das als Extremal-Prinziep auffassen ) Diese müssen aber ebenfalls alle gerade sein und, womit x;y;z also irgendwann auf [mm] \{0,0,0\} [/mm] enden muss, also [mm] x=y=z=2^n. [/mm] Und das führt dann auf die Gleichung [mm] $3*2^{2n}=2^{3n+1}$ [/mm] die nur für n=0 ganzzahlig ist.
So nachdem ich jetzt deine Idee nochmal nacherzählt habe (wollt halt auch zeigen, dass ich's verstanden habe) finde ich deine Lösung eindeutig eleganter als meine![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") . Denn deine Lösung ist eine rein gedankliche (Spitzen-)Leistung während sich meine lediglich durch (mehr oder weniger) stupides rechnen auszeichnet!
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Do 02.12.2004 | | Autor: | JanSu |
Hi,
das Problem find ich sehr schön und die Lösung auch. Bevor ich letztere aber gelesen habe, habe ich es selbst mit vollständiger Induktion versucht. Damit komme ich, sicher auch wegen mangelnder Praxis mit dem Verfahren, nicht so recht weiter.
Meine Fragen sind nun folgende:
1.) Ist es mit einem Ansatz der Form "Vollständige Induktion über z; x,y beliebig" überhaupt möglich die Frage zu beantworten?
2.) Macht dann folgendes Sinn:
2.1) Induktionsverankerung: z=1; x,y beliebig
x²+y²+1 = 2xy
x²-2xy+y² = -1
(x-y)² = -1
Widerspruch!
[mm] \Rightarrow [/mm] Induktion verankert!
und ferner
2.2) Wie geht's dann weiter? Man muß doch zeigen, dass
Wenn x²+y²+z'² = 2xyz' [mm] \rightarrow \IL={(xyz') | x=y=z=0}
[/mm]
Dann x²+y²+ (z'+1)² = 2xy(z'1) [mm] \rightarrow \IL={(xy(z'+1)) | x=y=z'+1=0}
[/mm]
Meine Fragen sind also:
Kann man das Verfahren (Induktion) hier anwenden? Wende ich es richtig an? Wie komme ich von der Induktionsannahme zum Induktionsschluß?
Wenn das allzu schwachsinnig ist, entschuldige ich mich, ich hab das bisher nur noch nie gemacht. ;)
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Hi jan
Grundsätzlich ist Vollständige Induktion bei allen zahlenteoretischen Aufgaben eine gute idee. Allerdings sehe ich bei dieser Aufgabe keine Erfolgs Chancen. Das muss allerdings noch nichts heißen.
Deinen Induktionsanfang ist richtig . Eine Induktion über z kann aber mit diesem nur bedeuten, dass sich für alle [mm] z'>z_0=1 [/mm] sich der selbe Wiederspruch wie beim Induktionsanfang ergibt! Ansonsten müsstest du einen anderen Induktionsanfang wählen!
Allerdings erhällt man schon für z=2 ein Gegenbeispiel:
[mm] $x^2+y^2=2xy2-4\gdw(x-y)^2=2xy-4$
[/mm]
Denn jetzt muss die rechte Seite für bestimmte x,y nicht mehr negativ sein und somit ergibt sich kein zwangsläufiger bzw. für alle x,y geltender Wiederspruch!
Es kann natürlich sein, dass ich deine Beweisidee nicht ganz richtig verstanden habe, aber du brauchst immer wenn du einen Beweis mit vollständiger Induktion führen willst eine invariante bzw. immer geltende Beziehung (Induktionsbehauptung). Allerdings wenn deine Idee dieser Beziehung anders war, als ich es verstanden habe, kannst du im Prinzip alles was ich geschrieben habe vergessen und mich mit einer Lösung durch vollständige Induktion überraschen
Gruß Samuel
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