ganzzahlige Abstände < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Schwede |
| Aufgabe | Plaziere sechs Punkte auf einem beliebigen Kreis so, dass alle 15 Abstände ganzzahlig sind.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hier eine kleine Frage mit der ich mich seit längerem beschäftigen muss. Vier Punkte ist kein Problem aber mehr krieg ich nicht hin. Hab auch keine wirkliche Idee wie ich das angehen könnte. Das einzige wäre ein Gleichungssystem mit 21 diophantisch-quadratischen Gleichungen ...
Jemand 'ne Idee?
Vielen Dank im Vorraus
Ralf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mi 16.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
ich gehe mal davon aus, daß die 6 Punkte paarweise verschieden sein sollen, ansonsten wäre das ja trivial.
Zunächst kann man sich überlegen, daß die Aufgabe dazu äquivalent ist, rationale Abstände zu bekommen, weil man die durch entsprechende Skalierung des Kreisradius mit dem kgV der Abstandsnenner immer ganzzahlig bekommen kann.
Danach wird es aber schwierig: Ich würde als erstes die Abstände mit dem Kosinus-Satz durch die Winkelabstände der Punkte ausdrücken, also
$d = r * [mm] \sqrt{2 - 2 \cos \phi}$
[/mm]
Dann reduziert sich die Aufgabe darauf, Winkel [mm] $\phi_i$ [/mm] so zu bestimmen, daß $2 - 2 [mm] \cos \phi$ [/mm] zum Quadrat einer rat. Zahl wird für alle [mm] $\phi_i$ [/mm] und ihre Summen. Vielleicht kannst du mit dem Gedanken etwas anfangen.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:41 Sa 19.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Ralf
> Plaziere sechs Punkte auf einem beliebigen Kreis so, dass
> alle 15 Abstände ganzzahlig sind.
>
> Hier eine kleine Frage mit der ich mich seit längerem
> beschäftigen muss.
Inwiefern? Etwas Kontext wuerde vielleicht weiterhelfen; etwa wenn es eine Uebungsaufgabe ist dann hilft es zu wissen, was ihr so an Stoff gemacht habt, vielleicht gibt das eine gute Idee.
LG Felix
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> Plaziere sechs Punkte auf einem beliebigen Kreis so, dass
> alle 15 Abstände ganzzahlig sind.
Tipp: spiele mal ein bisschen mit pythagoräischen Tripeln ! Wenn ich auf einem karierten Block einen Kreis skizzieren will und keinen Zirkel dabei habe, wähle ich zum Beispiel den Radius 5 und erhalte eine ganze Anzahl ganzzahliger Punkte, z.B. (5/0),(4/3),(3/4),(0/5),(-3/4),(-4/3),(-5/0), etc. , so dass ich frei von Hand einen ganz passablen Kreis durch sie legen kann.
Unter diesen Punkten gibt es wohl noch keine 6 geeigneten, aber es gibt ja viele andere als das 3-4-5 Pythagorastripel, zum Beispiel 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 usw. Ich würde nun mal etwa einen Kreis mit dem Radius r=5*13*17 nehmen (vielleicht genügt auch schon z.B. r=5*17) und darauf die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten und ganzzahligen Abständen suchen, z.B. mittels eines kleinen selbstgemachten Computerprogramms.
Gruss Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Ich bin beim googlen direkt auf die Lösung gestoßen.
http://www.primini.homepage.t-online.de/feuerb-9.html
Der Ansatz von Al-Chwarizmi ist wirklich gut. Insbesondere, da der Autor dort noch schreibt :"Bei meinen Ganzzahl-Knobeleien warte ich seit vielen Jahren auf eine korrekte Antwort...deshalb löse ich hier und heute in 2004 die im Jahre 1998 gestellte kleine Rätselfrage!"
Die Beispiellösung hat den Radius [mm] (5*13)^2.
[/mm]
Ciao.
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oh, danke für die Blumen und die url ...... und gut' Nacht !
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