gamma funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mo 05.11.2007 | | Autor: | beta81 |
| Aufgabe | [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2e^{-x^2}dx}=\sqrt{\pi}/2 [/mm] (1)
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^4e^{-x^2} dx}=3\sqrt{\pi}/4 [/mm] (2)
mit
[mm] \Gamma(\nu)=\integral_{0}^{\infty}{x^{\nu-1}e^{-x}dx} [/mm] (3)
[mm] \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}
[/mm]
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hallo,
kann mir bitte einer helfen und mir sagen, wie ich die integrale (1) und (2) mit hilfe der gamma funktion berechne?
danke!
gruss beta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
was hast du dir bisher schon überlegt?
mal ein tipp zu (1): beachte, dass der integrand symmetrisch zu $x = 0$ ist, somit hat man [mm] $\int_{- \infty}^\infty [/mm] ... = 2 [mm] \int_0^\infty [/mm] ...$ substituiert man nun noch [mm] $\nu [/mm] = [mm] x^2$, [/mm] so sollte sich das integral in das integral von [mm] $\Gamma [/mm] (1/2)$ überführen lassen. bei (2) könnte die rekursionsformel [mm] $\Gamma(\nu [/mm] + 1) = [mm] \nu \Gamma(\nu)$, [/mm] die sich einfach durch partielle integration bestätigen lässt, hilfreich sein.
probiere mal, ob du damit die beiden integrale berechnen kannst.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Mo 05.11.2007 | | Autor: | beta81 |
danke! habs hinbekommen...
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